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时间：2020-09-29
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1、第2节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、小结一、泰勒级数上节例题给定函数，是否存在幂级数，使其在收敛域内以为和函数？即解决的是已知幂级数，求其和函数。若若这样的幂级数存在，则称可以展开成幂级数。若，则若上式中的趋向于无穷，则我们得到一个幂级数：（1）时称（1）为的麦克劳林级数。（1）式称为函数在的泰勒级数。当可见在x=0点任意阶可导,证明设则其中从而有所以证毕。泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得注：Taylor展开式是唯一的。若定理2如果存在常数,使得对中的所有及一切自然数,都有则在内可展开为泰勒级数.二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:例1解
2、几个常见函数的麦克劳林级数容易证明例2解所以例3解两边积分得即牛顿二项展开式注意:双阶乘2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如例4解级数。(书）因为所以例5解例6解故于是例7将展开成麦克劳林级数。解由求两次导数得所以例8(060107)将函数展开成的幂级数.解令例9求幂级数的收敛域及和函数。解因为所以收敛区间为又因为所以三、欧拉公式由定义其中称为欧拉公式。四、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.思考题的麦克劳林级数。求练习题练习题答案
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