《函数展开成幂级数》PPT课件.ppt

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1、一、泰勒级数二、函数展开成幂级数§11.4函数展开成幂级数函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数,则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.一、泰勒级数复习根据泰勒中值定理,如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数则在该邻域内等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数,这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.一、泰勒级数泰勒级数如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数称为函数f(x)的泰勒级数.麦克劳林级数在泰勒级数中取x00,得此级数称为f(

2、x)的麦克劳林级数.一、泰勒级数显然,当xx0时,f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).需回答的问题是:除了xx0外,f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛,它是否一定收敛于f(x)?泰勒级数麦克劳林级数..一、泰勒级数设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零,即定理>>>泰勒级数麦克劳林级数..展开式的唯一性如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与f(x)的麦克劳林级数一致.这是因为,如果f(x)在点x00的某邻域(R,R)内能展开成

3、x的幂级数,即f(x)a0a1xa2x2+anxn,,a0=f(0),a1=f(0),.提示:f(x)2!a232a3x43a4x254a5x3,f(0)2!a2.f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x,f(n)(0)n!an.那么有f(x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4,f(0)a1.如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.但是,如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛,它却不一定收敛于f(x).因

4、此,如果f(x)在点x00处具有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.应注意的问题:展开式的唯一性如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与f(x)的麦克劳林级数一致.二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数的步骤第一步求出f(x)的各阶导数:f(x),f(x),,f(n)(x),;第二步求函数及其各阶导数在x0处的值:f(0),f(0),f(0),,f(n)(0),;第三步写出幂级数第四步考察在区间(R,R)内时是否Rn(x)0(n).如果

5、Rn(x)0(n),则f(x)在(R,R)内有展开式并求出收敛半径R;例1将函数f(x)ex展开成x的幂级数.解显然f(n)(x)ex(n1,2,),于是得级数f(n)(0)1(n1,2,).它的收敛半径R.对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间),有例2将函数f(x)sinx展开成x的幂级数.解所以f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,1,(n0,1,2,3,),于是得级数对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间),有它的收敛半径为R.因此得展开式例3将函数f(x)(1x)m(m为任意常数)展开成x的幂级数.所以f(0

6、)=1,f(0)=m,f(0)=m(m-1),,f(n)(0)=m(m-1)(m-2)(m-n1),,于是得幂级数解f(x)的各阶导数为f(x)=m(1x)m-1,f(x)=m(m-1)(1x)m-2,,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n1)(1x)m-n,,可以证明(1

7、将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数.f(x)ln(1x)解上述展开式对x1也成立,这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛,而ln(1x)在x1处有定义且连续.所以展开式成立的范围是(1