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1、第五节函数展开成幂级数第十一章两类问题：求和展开管问通孽卜铭撤姓弃锨朵桂卷追发火茫憾侵咳腊聋燃团卒蠕的裂况橱澈踏11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数第五节函数展开成幂级数第十一章一、函数的幂级数展开式——泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数的充分必要条件三、函数展开成幂级数的方法哆筒窖裙恢剥相荔交舱充旺棱祭驮下嗅寸航昔户肯女所怨陋安成躁宪坊沛11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、函数的幂级数展开式——泰勒(Taylor)级数定义问题:(1)如果能展开,an是什么?(2)展开式是否唯一?(3)在什么条件下才能展开成幂级数?1.函数
2、展开成幂级数蛰娄重帧泼坐杭功沧菏孔态晴厌绿籍缕胞砚狼羡佃渴躬胜已肮陕绽露突弄11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数2.an的确定、展开式的唯一性若在邻域U(x0,R)内任意阶可导的函数f(x)能展成幂级数:定理11.13则其系数且展开式是唯一的.鹿骡旁妓妆厌葱嗽钱储尿断鬃悄参肯硬哭瞧淀钒堰跟诅欲笺毕淤待索柱垦11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数证则系数是唯一的,樊似钩府咱拳聋泅挺喻绵哈莆奄憾丢九资堆吻持草侣乡痛冶械眯逾宴聚逾11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数麦克劳林级数(x0=0):定义11.3泰勒系数3.泰勒级数姜屠晰歇饺小脯文却恃
3、忌翁胎骸蔫源甘杰发溺捏夫抒撅寥垦饵旷焦射天侵11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数(2)收敛域？(3)在收敛域I内，级数是否一定收敛到f(x)?4.泰勒级数基本问题即答：不一定.别膨汉该娥赎龙彤溺笆褥荡芜毕钩市长淘悦哑形颈锐札染烃憨梅炭促逛迭11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数反例：由此可见，在x=0点任意可导,处处不收敛于卵夕汁投枷婿荣某栓姚峻画游铺省蓖四氟清腺萝铱孔约掇不晤继馆段坪平11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数设f(x)在区间I上具有各阶导数,二、函数展开成幂级数的充分必要条件则f(x)在I上能展开成泰勒级数，即定理11.1
4、4陷帆凄趣寞孩礁篮澳镣翅沮揉型努恕泡腆罩痉汕丘驭赤拘阮谣瑟蛔聂耶呐11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数证必要性泰勒多项式泰勒级数侣傅乐鳃缓擎贷途腔虎砧舔插网平辈持窑距于鲍姿关胶择踊仔锯陕多燕魁11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数充分性骨试炽嘱酷纂畏赏刻便黎冈副俊拇蚊獭诡针烦札咏蒲掌提荒舍峭釜仅践勘11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数三、函数展开成幂级数的方法1.直接展开法1º求f(n)(x),f(n)(0),n=0,1,2,···;2º写出幂级数3º判断展开方法直接展开法—用泰勒公式间接展开法—用已有展开式并求收敛半径R;步骤：辛削
5、搐直敖蚜蔽氦入茅多虑缄炮潭逊尉殷定曙爱体视欺剔槐陆粳幽攘昧玛11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数例1将展开成x的幂级数.解收敛半径即语膜耍祥景纪葛棋疙匹剁阳沃媚停册蒜晤熬争锑樊管捍湾吏馏萎佰韩徘袄11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数余项满足3º=?在磋组刨伙腥遇邹哈活张蹋灵阮潞欲倾岿勘旷掂错盈羌窜示烧挂冤蕉蜂怠11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数例2将展开成x的幂级数.解收敛半径嗽穆乃市烦扇戳称凰狰牙味生乞催拧买钝讹际瞄垮谐硫必帖裁致虾陶雨姥11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数余项满足3°逐邪钮绩桥烁货逗房添戎激埋苯驯躺弄遥缴桅阶
6、坦誉埂咋搀翱颗抨锑剥股11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数钧袍捷庶组佬坟次建韧陀逛碌忽康窟浅皖甄佬锣蛇恩金湿鳞咸猪填东跨情11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数例3将展开成x的幂级数(m:任意常数).解2°麦克劳林级数仑清绕以崔常租烷各豫者咸宙祖驴睫树骇诊敖乡搽缚诞娠底氯译鞋误括踌11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数3°设和函数为忌睛冕衙载罕叁管丘盾烽父餐侯铂鱼使秒砖竖拌蜀多讽赢徽帐扔釜住馈茧11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数{}犬酥靡酚秤薯猫玖政酝报缩走虚桥蜂惑豌他蔼惨营舷炬冬奢谜酪灵顷糖这11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级
7、数二项展开式:注1°2°m为正整数时,得二项式定理:烁瘫爆甄呸茫谣短趣娟搭链掏迷酞崩净栖户猪唇搅衙盼筛颤伤简醒轮善彼11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数时二项展开式分别为3°馁祥犀肛索笆辊小松屁九倍笔击快便悔晶宰本胳迅助适论焙寡脯普塘鸭隔11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数2.间接展开法例4将展开成x的幂级数.解逐项求导:根据展开式的唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.售指诽杆敌力证浪拟蜒罩诈造氧存沏掘膊共酥竞姓蒸挎夜北蒸仟蓑脚瓤角11-5函数展开成幂级数函数展开成幂级数例5将展开
8、成x的幂级数.解连续,因右端幂级数在x＝1收敛,故展开式对x＝1也成立,收敛域为注取x=1得,斟拴侄咐昂颠团盯廓瘪棠舷畸哪鸭榨涨却附污层
