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1、专题三三角函数及解三角形第一讲三角函数的概念及其图象与性质一、主干知识1.三角函数定义：三角函数正弦余弦正切定义设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)__叫做α的正弦,记作sinα__叫做α的余弦,记作cosα___叫做α的正切,记作tanαyx2.同角三角函数之间的关系：(1)平方关系：________________.(2)商数关系：____________________.3.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)的简图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应y的
2、值，描点、连线可得．sin2α+cos2α=14.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中参数的物理意义:名称符号意义振幅__做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离周期T=______表示简谐振动的物体往复运动一次所用的时间频率f=______表示简谐振动的物体在单位时间内往复运动的次数相位_______初相____时的相位φAωx+φx=0二、重要结论1.增减性函数递增区间递减区间y=sinx____________________________________________y=co
3、sx__________________________________________y=tanx________________________无[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)2.对称性函数对称中心对称轴y=sinx___________________________y=cosx___________________________y=tanx_____________无(kπ,0)(k∈Z)x=kπ(k∈Z)1.(2019·
4、北京高考改编)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的条件.【解析】当φ=π时,y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin2x,此时曲线必过原点,但曲线过原点时,φ可以取其他值,如φ=0,因此“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分不必要条件.答案:充分不必要2.(2019·湖北高考改编)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________.【解析】由已知=当m=时，平移后函
5、数为其图象关于y轴对称，且此时m最小.答案：3.(2019·山东高考改编)函数y＝(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.【解析】令z＝因为0≤x≤9，所以z∈所以≤sinz≤1，则≤y≤2，由此最大值与最小值之和为2.答案：24.(2019·江苏高考)函数y=的最小正周期为____.【解析】函数y=的最小正周期答案：π5.(2019·南京模拟)将函数y＝sinωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式为_______.【解析】将函
6、数y＝sinωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象所对应的解析式为由图象知，所以ω＝2.所以函数的解析式为答案：热点考向1三角函数的定义及应用【典例1】(1)(2019·广州模拟)已知点落在角θ的终边上，且θ∈［0,2π)，则θ的值为________.(2)(2019·玉溪模拟)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(3，y)是角θ终边上一点，且则y＝___________.(3)角速度为的质点P，从点(－1,0)出发，逆时针沿单位圆x2＋y2＝1运动，经过17个时间单位
7、后，点P的坐标是______.【解题探究】(1)解答本题的关键是：①正切函数的定义：____________.②确定角θ所在的象限依据：______________________.(2)本题根据已知信息可判断θ所在的象限为_________，则y值的符号为___.(3)角速度指的是什么？提示：一个以弧度为单位的圆在单位时间内所走的弧度即为角速度.第四象限负【解析】(1)又所以θ为第四象限角且θ∈［0,2π)，所以答案：(2)因为sinθ＝所以sinθ＝解得y=－6.答案:－6(3)经过17个单位
8、时间，质点运动的弧度是，此时质点P在角的终边上，即在的终边上，根据三角函数的定义，此时该点的坐标是即答案：【方法总结】与三角函数定义有关问题的求解思路(1)求三角函数值:①单位圆法.第一：确定角α的终边与单位圆的交点坐标(x,y)；第二：令x=cosα,y=sinα.②定义法.设角α的终边上任意一点的坐标为(x,y)，则cosα=sinα=(2)利用三角函数的定义建模:由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立必然联系.
