计算机图形学 第三章-2(Bezier)ppt课件.ppt

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1、3.1.2Bezier曲线与曲面由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。3.1.2.1Bezier曲线的定义和性质1．定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则B

2、ezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：0=1,0!=1曲线实例如右图所示。2．Betnstein基函数的性质（1）正性（2）端点性质（3）权性由二项式定理可知：（4）对称性因为（5）递推性。即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。因为，（6）导函数（7）最大值。在处达到最大值。（8）升阶公式（9）积分3．Bezier曲线的性质（1）端点性质a.）曲线端点位置矢量由

3、Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。b.）切矢量因为，所以当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。c.）二阶导矢当t=0时，当t=1时，上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。

4、将、及、代入曲率公式，可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：d.）k阶导函数的差分表示n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：例如：（2）对称性。由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。（3）凸包性由于，且，这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味

5、着Bezier曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图3.1.9所示。（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：（变量u是t的置换）（5）变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲

6、线比特征多边形的折线更光顺。（6）仿射不变性对于任意的仿射变换A：即在仿射变换下，的形式不变。3.1.2.2Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用deCasteljau提出的递推算法则要简单的多。如图3.1.10所示，设、、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线交于点,在点的切线交和于和，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：t从0变到1，第一、二式就分别表示

7、控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)

8、定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式：这便是著名的deCasteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：是定义Bezier曲线的控制点，即为曲线上具有参数t的点。deCasteljau算法稳定可靠，直观简便，可