计算机图形学(2)ppt培训课件

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1、第一篇基础引言叙述一种以向量几何与“方向性”概念为基础而构筑的几何计算理论体系对基本几何、曲线与图形进行统一描述；对几何建立“方向”概念；对辅助几何设置“属性”概念；对交点引入“特征”概念；在此基础上研究几何计算的稳定性理论和算法复杂性理论。引言在解决几何交、切运算，包容性测试，几何造型，布尔运算等几何计算的奇异情况处理中的重大作用：有效地将二维布尔运算降为一维向量计算将三维布尔运算下降为二维布尔运算将三维线消隐算法最终归结为一维交集算法等等第2章基本几何引言计算机图形学涉及的几何元素，理论上是点、线、弧

2、（圆）、曲线与空间上的平面、曲面在图形的相互关系处理中,点实际上不独立构成图形的某一部分平面上的任意曲线又可转化为由直线段和圆弧段构成，三维空间的曲面常用平面逼近后处理因此，计算机图形学讨论的基本几何是直线、圆（弧）和平面。引言基本几何的定义和它们之间的相互关系虽然并不复杂，但是作为描述所有图形的基础，其定义的严密性、算法的强壮性以及处理的效率就显得至关重要。深入地研究基本几何元的有关问题，建立一套完整的、正确的和有效的基本几何的定义和求解系统。2.1向量实数的n元组，常用粗体字母来表示。如u、v等向量的

3、性质向量的加法满足交换率和结合率；几何上，向量的加法可以根据平行四边形法则来完成；实数与向量相乘满足：2.1.2向量点积—定义在欧几里德空间中，点积定义为：几何意义两向量的点积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。2.1.2向量点积—定义若向量u=（x1，x2，…，xn）v=（y1，y2，…，yn）则它们的点积为：u·v=x1y1+x2y2+…+xnyn两向量的点积等于对应坐标乘积的和。用坐标表示式计算点积2.1.2向量点积—性质点积是对称的，即满足交换率点积满足双线性关系，即满足

4、分配率在乘以一个标量时，点积满足：点积不会退化，只有当v=0时，v·v=02.1.2向量点积—性质几点说明两个互相垂直的向量的点积总是零；若u、v都是单位向量，它们的点积就是它们的夹角的余弦若v是单位向量，则点积w·v即为w在方向v上的投影；N维向量v的长度D=2.1.3向量叉积—定义两个向量u、v的叉积定义为：其中：n是一个与u和v均垂直的单位矢量。叉积的大小是向量u,v所构成的平行四边形的面积，方向与u,v所在平面垂直且满足右手定则。几何意义2.1.3向量叉积—定义i、j、k为直角坐标系的单位向量，满

5、足等式i×j=k，j×k=i，k×i=j，设：等价于：则：用坐标表示式计算叉积2.1.3向量叉积—性质满足反交换率：u×v=-v×u加法的分配率：u×（v+w）=u×v+u×w与标量的乘法兼容：（cu）×v=u×（cv）=c（u×v）满足雅可比恒等式：u×（v×w）+v×（w×u）+w×（u×v）=0两个非零向量u和v平行，当且仅当u×v=0拉格朗日公式2.1.4向量—说明点被定义为从原点画到该点的向量，严格来讲，点与向量是两个不同的概念。向量点积常用来进行方向性的判断：若点积大于0，两向量的方向朝向相近

6、，若小于0，方向相反。向量叉积常用来判断两向量的旋向、计算平面的法向等。2.2基本几何的描述2.2.1点描述点由它的一对坐标（x，y）来定义。2.2.2直线的描述1）直线的两点式方程设直线通过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，则直线方程可表示为：上述描述形式用作计算机内表示并不可取，因为需要特别注意：x2-x1=0或y2-y1=0两种状态以防止计算时溢出。（1）2.2.2直线的描述2）直线的参数方程如果把1）式左边的值记为t，就有：这是一种较好的直线描述方式，优点是：直观，直线通过的两点明显地表现

7、在方程之中；能够描述任何形式的直线；参数t有明显的几何意义：当：t∈[0,1]，表示P1P2间的线段；t∈（-∞,∞）表示通过P1P2的无穷直线。直线上的点可以按照t的大小排列起来。2.2.2直线的描述3）直线的标准方程设若将式1）式左式两端同乘以(x2-x1)且移项，则有（y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0令A=y2-y1B=-(x2-x1)C=-(Ax1+By1)就得到直线的标准方程：Ax+By+c=02.2.2直线的描述直线的标准方程的优点在于它能够表达二维平面上的任何直线。向

8、量a=(A,B)表示直线的法向。平面上任何点P(xp,yp)到直线的距离可表示为：D＞0时，表示P在直线的正侧；D＜0时，表示P在直线的负侧；、D＝0时，表示P点在直线上。2.2.2直线的描述4）直线的法线式方程若对直线的标准方程式同除以因子就成为：2.2.2直线的描述直线的法线式方程中a和b有明显的几何意义：a=sinα，b=-cosαα是直线正向（直线右侧）与x轴正向的夹角，且a2＋b2＝1若同时改变系数（a,b,c）的符