非线性方程的求根ppt课件.ppt

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1、第六章非线性方程求根非线性方程定义：当f(x)是超越函数或高次多项式时,f(x)=0称为非线性方程（超越函数：自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数）在中学时，我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法，也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出公式解。例如超越方程看起来很简单，却不容易求得精确解。至于解三次、四次代数方程，尽管存在着求解公式，却不实用，而对一般的五次或五次以上的代数方程，根本没有求根公式。另一方面，在实际应用中，只要能

2、获得具有预先给定的误差限内的近似值就可以了。因此，需要引进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。它包括以下三方面内容：1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？3．根的精确化。具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。求初始近似值，即确定根的大致区间（a,b），使（a,b）内恰有方程的一个根。这个步骤，叫做根的隔离，这样的区间，叫做隔离区间。隔离根的方法，主要依据以下根的存在定理：定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，如果f(a

3、)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一实根x*。具体做法通常有两种：1．画出的略图，看出曲线与x轴交点的位置。2．从左端点x=a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+h的函数值，若那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根的初始近似。例1：考察方程注意到f(0)<0,f(+)>0，知f(x)至少有一个正的实根。设从x=0出发，取h=0.5为步长向右进行根的扫描，列表记录各个结点上函数值的符号，我们发现，在区间（1,1.5）内必有实根，因此可取x0=1或x0=1.5作为根的初始近似

4、值。x00.51.01.5f(x)的符号－－－＋在具体运用上述方法时，步长的选择是个关键。若步长h足够小，就可以求得任意精度的根的近似值；但h过小，在区间长度大时，会使计算量增大，h过大，又可能出现漏根的现象。因此，这种根的隔离法，只适用于求根的初始近似。根的逐步精确化的方法，包括二分法、迭代法、牛顿法和弦截法。我们将在以下几节介绍上述方法，将要着重学习迭代法的思想。§1二分法首先，假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有唯一的实根x*。二分法的基本思想：就是将方程根所在的区间平分为两个小区间，再判断根属于哪个小区间；把有根的小区间再平分为二，再判断根所在的更小的区间，对

5、分；重复这一过程，最后求出所要的近似值。执行步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x1)。3．判断若f(x1)=0，则即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x1]，以x1代替b；（2）若f(x1)与f(a)同号，则知解位于区间[x1,b]，x1代替a。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…其中每个区间都是前一个区间的一半，因此区间长度为显然，二分过程如果能够无限地继续下去，这些区间最终必收敛于一点x*，该点就是所求

6、的根。不过，无限过程实际上是不可能实现的，也没有这种必要，因为数值分析的结果允许有一定的误差。只要有根区间（ak+1,bk+1）的长度小于预先给定的误差，那么就可以取作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为：综上所述,如果f(a)f(b)＜0，则由（2.1）所知，当k时，x*-xk+10，即xk+1x*，x*-xk+1收敛于零的速度，相当于以1/2为公比的等比数列。下面给出用二分法求f(x)=0在[a,b]上的实根的框图。其中：a,b为区间端点,为预先给定的误差限,k为对分次数输入a,b,定义f(x)f(a)f(b)>0k=0f(a)f(

7、b)=0f(a)=0打印b,k打印a,k结束是是是否否否m=(a+b)/2

8、a-b

9、<f(a)f(m)>0打印m,ka=mb=m结束k=K+1是是否否输出无根2．迭代过程的收敛性请看下面几个图形正因为牛顿法有这一明显的几何意义，所以牛顿法也称为切线法。Why？为线性收敛的原因是：解法二：双点弦截法