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《高三数学教案：圆的方程4.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5．圆的方程一、内容归纳1.知识精讲.①圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-D，-E)，半径为1，222D2E24F(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：yr2xa2bycbxx2d等,(5)圆系方程：i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：
2、Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0ii)过两圆12+y2111222222的交点的圆的方程为C：x+Dx+Ey+F=0，C：x+y+Dx+Ey+F=022+D22+Dx+Ey+F)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C；x+yx+Ey+F+λ(x+y1112222（1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6)圆的参数方程圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为xrcos为参数yrsinxarcos
3、为参数ybrsin②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0。二、问题讨论例1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，3)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程。解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b)∵⊙O与⊙Q相外切于P∴O、P、Q共线，且λ=OQ=-
4、6=-3由定比分点公式求得a=-3，b=33QP42∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-33)2=16第1页共5页(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：x2y2=(x1)2(y1)2即x+y-1=0解方程组x+y-1=02x+3y+1=0得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=
5、OC
6、=5∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①，得：4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x=0，由①得y2+Ey+F
7、=0④由已知
8、y1-y2
9、=43，其中y1、y2是方程④的两根。∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤②、③、⑤组成的方程组，得D=-2D=-10E=0或E=-8F=-12F=4故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例2、(优化设计P112例1)设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点
10、的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹。解：设动点P的坐标为（x，y）.由
11、PA
12、，得(xc)2y2a.
13、PB
14、a(a0)(x22c)y化简得(1a2)x22(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20.c当a1时,得x22c(1a2)c2y20，整理得(x1a222(2ac2.1a2x2c)y2)a1a1当a=1时，化简得x=0.时，P点的轨迹是以(a21c,0)为圆心，
15、22ac所以当a12
16、为半径的圆；a1a1当a=1时，P点的轨迹为y轴。【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这
17、种求曲线方程的方法称为直接法。例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx截圆所得的弦长为27，求此圆的方程。解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0上，故设圆方程为(x3b)2(yb)29b2，由于直线yx截圆所得的弦长为27，则有第2页共5页(3bb)2(7)29b2解得b1，故所求圆方程为2(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29【评述】求圆的弦长方法（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式(1k2)[x1x2)24x1x2]例4、已知⊙O的
18、半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。y解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系。⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则MAMC⊙O的直径，AMO垂直M平分AB于O。Ox由勾股定
