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1、5．圆的方程一、内容归纳1.知识精讲.①圆的方程222(1)标准式：(x-a)+(y-b)=r(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。DE12222，-，(2)一般式：x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)，其中圆心为(-)，半径为22222DE4F(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）222（4）半圆方程：yrxab,ycbxxd等(5)圆系方程：22i)过圆C：x+y+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为22x+y
2、+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=02222ii)过两圆C1：x+y+D1x+E1y+F1=0，C2：x+y+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为2222x+y+D1x+E1y+F1+λ(x+y+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；（1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6)圆的参数方程xrcos圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为为参数yrsinxarcos圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为为参数ybrsin22②圆的一般方程与二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0的关系
3、；22二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0，D+E-4AF>0。二、问题讨论例1、根据下列条件，求圆的方程。22(1)和圆x+y=4相外切于点P(-1，3)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程。解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b)∵⊙O与⊙Q相外切于POQ63∴O、P、Q共线，且λ==-=-由定比分点公式求得a=-3，b=33QP42∴所求圆的方程为(x+3)22+(y-33)=16第1页共5页(2)显然，所求圆的圆心在
4、OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：2222xy=(x1)(y1)即x+y-1=0解方程组x+y-1=02x+3y+1=0得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=
5、OC
6、=5∴所求圆的方程为(x-4)22+(y+3)=2522(3)设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①，得：4D-2E+F=-20②2D-3E-F=10③令x=0，由①得y+Ey+F=0④由已知
7、y1-y2
8、=43，其中y1、y2是方程④的两根。222∴(y1-y2)=(y1+y2)-4y1y2=E-4F=48⑤②、③、⑤组成的方程组，得D=-2D=-10E=0或E
9、=-8F=-12F=42222故所求圆的方程为x+y-2x-12=0或x+y-10x-8y+4=0[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例2、(优化设计P112例1)设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹。22解：设动点P的坐标为（x，y）.由
10、PA
11、a(a0)，得(xc)ya.22
12、PB
13、(xc)y2222222化简得(1a)x2c(1a)xc(1a)(1a)y0.2222c(
14、1a)221a222ac2当a1时,得xxcy0，整理得(x2c)y(2).21aa1a1当a=1时，化简得x=0.2a12ac所以当a1时，P点的轨迹是以(c,0)为圆心，
15、
16、为半径的圆；22a1a1当a=1时，P点的轨迹为y轴。【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且直线yx截圆所得的弦长为27，求此圆的方程。解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y0上，故设圆方程为222(x3b)(yb)9b，由于直线yx截圆所得的弦长为27，则有第2页共5
17、页3bb222()(7)9b解得b1，故所求圆方程为22222(x3)(y1)9或(x3)(y1)9【评述】求圆的弦长方法（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边22（2）代数法：用弦长公式(1k)[x1x2)4x1x2]例4、已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。y解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系。⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则MAMCA⊙O的直径，MO垂直MO平分AB于O。x22222
