高三数学教案：直线与圆锥曲线的位置.docx

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1、第四节：直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2.弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：l1k2x1x2=(1k2)(x1x2)24x1x2或当k存在且不

2、为零时l112y1y2，（其中（x1,y1），（x2,y2）是交点坐标）。k②抛物线y22px的焦点弦长公式

3、AB

4、=x1x2p2p，其中α为过焦点的直sin2线的倾斜角。4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。5.思维方式:方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。二、例题：【例1】直线y=x+3与曲线y2x

5、x

6、1（）94A。没有交点B。只有

7、一个交点C。有两个交点D。有三个交点〖解〗：当x>0时，双曲线y2x21的渐近线为：y3x，而直线y=x+3的斜率942为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆y2x21的顶点，94k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D[思维点拔]注意先确定曲线再判断。【例2】已知直线l:ytan(x22)交椭圆x29y29于A、B两点，若为l的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y，得(19tan2)x2362tan2x72tan290AB1tan2x2x

8、11tan2(19tan2)6tan2619tan2由AB2,得tan21,3tan3，333的取值范围是0,5,66[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan给出，所以可以认定2，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。2【例3】已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A、B两点（1）求证：OAOB（2）当OAB的面积等于10时，求k的值。（1）y2x消去x后，整理得证明：图见教材P127页，由方程组k(x1)yky2yk0。设A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理得y1y21A,B在抛物线y

9、2x上，y12x1,y22x2,y12y22x1x2kOAy1y2y1y211,OAOBkOBx2x1x2y1y2x1（2）解：设直线与x轴交于N，又显然k0,令y0,则x1，即N（－1，0）SOABSOANSOBN1ONy11ONy21ONy1y2222SOAB11(y1y2)24y1y21(1)2422kSOAB10,114,110k2解得k26[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。〖

10、解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：2设B（x，y）、C（x，y），BC中点M（x，y），则y+4ky-4m=0，112200y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，∵点M（x0，y0）在直线上。∴-2k（2k2+m）+3，∴m=-2k32k3又BC与抛物线交于k2k32k30即(k1)(k2k3)0，不同两点，∴⊿=16k+16m>0把m代入化简得kk解得-1

11、=-92，且离心率e4满足：2/3，e，4/3成等比数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-1平2分。若存在，求l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。〖解〗依题意e=223（1）∵a2-c=92-22=2，又e=22∴a=3，c=22，b=1，又F1（0，-22），c443对应的准线方程为y=-92。∴椭圆中心在原点，所求方程为：4x2y2=19（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-1平分，∴直线l的斜率存在。2设直线l：ykxm由ykxmx2y2=1消去y

12、，整理得9(k29)x22kmxm29=0∵直线l与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>022①即m-k-9<0设M（x1，y1）、N（x2，y2）xx2km1，∴mk29