中科大量子力学-态和力学量的表象ppt课件.ppt

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1、Chapter.4态和力学量的表象Therepresentationforthestatesanddynamicalvariable引言按量子力学基本原理，体系的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们的具体形式的。那么，是否还可以选择其它力学量算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式呢？回答是肯定的。这就是说量子力学中波函数和力学量算符的描述方式不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空

2、间的描写是完全是等价的。量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象动量表象能量表象角动量表象常用的表象坐标表象4.1态的表象Therepresentationofthestate4.2算符的矩阵表示Matrixrepresentationofoperators4.3量子力学公式的矩阵表示Matrixrepresentationofformulaforquantummechanism4.4幺正变换Unitarytransformation4.5狄喇克符号Diracsymbols4.6线形谐振子与占有数表象Linearoscillatorand

3、occupationnumberrepresentation研究内容重点掌握的内容◆二个表示：态在任意表象中的表示；算符在任意表象中的表示。◆三个公式：在任意表象中的表示平均值公式本征值方程薛定谔方程◆狄喇克符号及应用◆幺正变换的基本性质表象的定义◆一个定义：◆产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它们的物理意义矩阵力学主要数学工具矩阵1．态的动量表象§4.1态的表象动量算符本征函数：组成完备系展开系数构成付里叶变换与逆变换从数学上讲，知道其一,必可唯一地求出另一。从物理角度看，描述粒子状态，那么也可用于描述粒子同一状态。任一状态可按其展开：称为

4、坐标表象中的状态波函数，称为动量表象中的状态波函数。§4.1态的表象（续１）物理意义？是在所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果为的几率。是在所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为的几率。两者从不同的侧面描写粒子的状态,给出了粒子的不同信息（力学量和的信息）。证（归一化条件）命题若是归一化波函数，则也归一。§4.1态的表象（续２）2．Q表象力学量算符的正交归一的本征函数完备系：任一状态可按其展开：展开系数：由上述两式给出了与函数集之间的相互变换关系，将写成矩阵本征方程：§4.1态的表象（续３）给出在态中测量粒子的力学量Q取值的几率对于与，

5、知道其一就可求得另一，因而与描述粒子同一状态。是粒子状态波函数在Q表象中的表示，称为Q表象波函数§4.1态的表象（续４）归一化条件（归一化条件的矩阵表述形式）以上讨论可推广到Q有连续谱的情况。粒子处于一维无限深势阱的基态：求该态在动量和能量表象中的表示形式。Ex.1.§4.1态的表象（续５）注动量本征函数Solve选择动量表象:展开系数：§4.1态的表象（续６）能量表象：本征函数可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取δ符号形式。§4.1态的表象（续７）基态的表示一般结论:力学量算符属于分立本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一δ符号,其

6、矩阵为单位元矩阵。能级态的表示第n行§4.1态的表象（续８）Ex.2:Solve：自由粒子动量算符的本征函数求自由粒子动量算符具有确定本征值的本征函数在动量自身表象中的形式Ch.4Therepresentationforthestatesanddynamicalvariable动量算符具有确定本征值的本征函数:可见，动量算符具有确定本征动量值的本征函数在动量自身表象中是以动量为变量的δ函数。§4.1态的表象（续９）动量算符的本征方程一般结论:力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一δ函数。Ch.4Therepresent

7、ationforthestatesanddynamicalvariable在坐标表象中，坐标算符　的本征函数同样§4.1态的表象（续１０）本征值方程:以上讨论与三维矢量空间矢量的表示很类似。Hilbert空间与态矢量在三维矢量空间选一组正交归一完备基正交归一条件§4.1态的表象（续１１）Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复线性空间态矢量：Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波函数视为一个矢量称为态矢量（简称态矢）力学量算符的正交归一完备函数系构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基底。任一态矢§4.1态的表象（续１

8、２）注意：由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。表象与几何空间坐标系的比较§4.1态的表象（续１３）量子力学表象几何空间坐标系某一表象本征态矢量某一坐