量子力学中的力学量ppt课件.ppt

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1、第三章量子力学中的力学量经典力学：粒子的运动状态由坐标和动量描述，力学量由的坐标和动量的函数描述。例如：动能，势能，角动量。量子力学：粒子的运动状态由波函数描述，力学量由算符描述。需要什么样的算符来描述，如何描述，正是本章的内容。主要内容§3.1表示力学量的算符§3.2动量算符和角动量算符§3.3电子在库仑场中的运动§3.4氢原子§3.5厄密算符的本征函数的正交性§3.6算符与力学量的关系§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系§3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律（一）算符定义（二）算符的一般特性§3.1表示力学量的算符算符代表对波函数进行某种运算或变换的符

2、号1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。（一）算符定义用算式表示为：算符表示对函数的运算得到另一个函数。例如:（6）厄密算符(7)算符的本征值方程(8)力学量算符的构成（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）算符函数（二）算符的一般特性（1）线性算符定义:Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。例如：若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。开方算符、

3、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（2）算符相等（3）算符之和定义:若两个算符Ô、Û,对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。例如:注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。显然，算符求和满足交换率和结合率。（4）算符之积定义:若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。设给定一函数F(x),其各阶导

4、数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（5）算符函数例如:这样形式的方程称为算符的本征值方程。本征值方程的解：求得满足方程的一系列本征值：和相应的本征函数:（6）算符的本征值方程(7)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.注II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。(请同学们自己证明)注I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。2.注:若则有证毕.证明:3.定理:厄密算符的本征值一定是实数。量子力学中表示力学量的算符必需是线性,厄密算符,且它的本征函数构成完备系.经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不变,动量换为动量算符就构成了

5、量子力学中相应的力学量算符.例如没有经典对应的力学量则唯象地引入,如宇称和自旋等.(8)量子力学中力学量算符的构成（一）动量算符（1）Dirac—函数（2）动量本征方程（3）动量本征函数归一化（二）角动量算符（1）角动量算符的形式（2）角动量本征方程（3）角动量算符的对易关系（4）角动量升降阶算符§3.2动量算符和角动量算符(一)Dirac—函数1.定义：或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：2.性质：0x0x推广到三维：3.—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=p/,dk=dp/,则此式是—函数的积分表示式.4.—函数的微商：—函数不是

6、普通的函数,它属于泛函,其微商亦应当专门来定义,为了简单我们不专门来研究,但是运算中可以将它的微商看作普通函数来处理.例如:对于一个连续函数f(x)（二）动量算符的本征值和本征函数1.动量本征方程I.求解采用分离变量法，令：代入动量本征方程且等式两边除以上式，得：解方程式可以得到这里的常数c是真正的常数这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。于是：2.归一化系数的确定这里常数c1与x无关,但可以是y,z的函数,同理c2可以是x,z的函数c3可以是x,y的函数.无法正常归一化.连续谱本征函数的归一化连续谱本征函数规定归一化为—函数即:xyzAA’oL（3）箱归一化在

7、箱子边界的对应点A,A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。所以c=L-3/2，归一化的本征函数为：波函数变为这时归一化系数c可由归一化条件来确定：讨论：（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：