量子力学中的力学量

《量子力学中的力学量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、量子力学中的力学量经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态

2、表示；三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；四个本征态及本征值：坐标或、动量或、角动量及、能量（哈密顿量）。本部分的难点是任意态与力学量算符本征态及力学量概率态的区别。1厄米算符1.1算符：算符只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量与相当，自由粒子体系的能量与相当。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。1.2算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数（1）但在特殊情况下，得到（2）为实或复常数。量子力学中把这样的函

3、数称为算符的本征函数，对应的常数称为算符的本征值，相应的关系式称为本征方程。1.3厄米算符：（1）算符中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符。例如，则，一般来说，。（2）算符的转置算符定义为，即（3）11一般为任意函数，，例如算符的转置算符为（4）这是因为（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为，即（5）一般来讲，，但动量算符却例外，如，（6）（4）厄米算符满足的算符称为厄米算符，又称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标记，当它都包含转置共轭的性质，如为厄米算符，则有（7）此式被认定为厄米算符的定义式，经常应用不可忽视。这种特殊性质的算符，

4、对它的本征值具有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数。厄米算符的特殊作用以及它的本征函数、本征值在量子力学中占有极其重要的地位。2力学量用厄米算符表示当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量可以用一个线性厄米算符来表示，简称为力学量算符，所谓“线性”，无非是要求满足运算（8）实中为任意常数。“

5、厄米”才是关键所在。而“表示”只是指一种表现形式，这要看算符所作用的态函数的变量（后面表象理论一讲详细讨论）。本讲基本上都是以坐标为变量，所以只需以为基础，原则上可以得出所有力学量算符（9）3力学量算符的本征态和本征值微观体系所处的状态，11只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。假定体系处于力学量算符的本征态，本征方程为（10）说明力学量算符对应着确定的实数本征值，这时的力学量没有别的选择，只能是（11）即当体系处于力学量算符的本征态时，力学量具有确定值。这种确定的关系可以表示为量子力学重要的基本任务之一，就是确定力

6、学量算符的本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符的本征态（能量本征态），势阱宽，本征值，力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱。大致可分为三类：（1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；（2）带谱—本征值被限定在某些区域，例如固体中的能带；（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为或，分立谱记为。对应的本征函数分别记为及。二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如个）本征态

7、对应一个本征值，称这种情况为度简并。四个特例3.1球坐标中的角动量首先看角动量的分量的本征函数。设其本征函数为，对应的本征值为，则本征方程为，将其变为可解出，由波函数单值性要求，故必须是整数，即，可见本征值是量子化的分立谱。利用归一化条件取，因此归一化的波函数为11角动量平方算符其本征方程为对应的本征值为本征态为注意以下三点：（1）取负值时，，所以只需注意为正值时的即可；（2）当一定时，角动量平方算符的本征值一定，但可取个值，所以本征态有共个，即角动量平方算符的本征值是度简并的；（3），说明也是的本征态。这是因为，所以在的本征态上乘以任何与无关的数仍为

8、的本征态，本征值仍为。由此可见，当给定后，本征值只与一个确定的本征态相对应，说明共同消除了简并