第7章量子力学中的力学量ppt课件.ppt

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1、第七章　量子力学中的力学量经典粒子：可用坐标和动量来描写状态，任何状态下，力学量都有确定值。微观粒子：坐标和动量不能同时有确定值，所以状态用波函数表示，力学量用算符表示。§7.1表示力学量的算符一、算符１、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。２、算符的本征值方程３、算符的例子<1>动量算符：分量式：动量算符　表示动量这个力学量。<2>坐标算符：<3>哈密顿算符：经典的哈密顿函数：　　　　　　　　，将代入　中得：<4>量子力学中力学量用算符表示的规则：如果量子力学中的力学量　在经典力学中有相应的力学量，则算符　由经典

2、表示式　　　中将　换为算符　而得出：例如，角动量算符：量子力学中的角动量算符：二、力学量用厄米算符表示(Hermitoperator)１、当体系处于定态，即哈密顿算符　的本征态　时，能量有确定值　，　即本征值。当体系处于动量算符的本征态　时，动量有确定值，这个值即　在　态中的本征值。２、算符　表示力学量　，当体系处于　的本征态时，力学量有确定值，这个值即　在　态中的本征值。因为所有力学量的数值都是实数，而表示力学量的算符的本征值就是测量此力学量的可能值，所以，表示力学量算符的本征值必须为实数。什么类型的算符，本征值为实数？３

3、、厄米算符量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。定义：若则　称为厄米算符。式中　代表所有变量，积分范围为所有变量变化的整个区域。４、证明厄米算符的本征值是实数。证：验证：坐标算符和动量算符是厄米算符。坐标值　为实数，对动量算符的一个分量　，有分部积分一、动量算符１、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值，　　是属于此本征值的本征函数。分量式：§7.2　动量算符和角动量算符它们的解是本征值　　　　　　　　可取所有实数，构成连续谱。２、动量本征函数的归一化求归一化常数　？计算积分：如果取　　　　　，则动量本征函数归一化到　函数

4、。即其中为什么　　　不能归一化为1，而是归一化为　函数：这是由于动量本征值可以取连续值，　的各分量可取任意实数，动量本征值构成连续谱。３、动量本征值的分立化：箱归一化设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即或这样　只能取分立值：同理，根据周期性条件　　　　　　　　　　　和可得到相邻两个分立值的差：当　　　时：分立值→连续谱。引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化为１，归一化常数　　　，即证：这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界

5、条件归一化方法，称为箱归一化。４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数，它是动量算符的本征态。测量粒子的动量　，有确定值　，即动量算符的本征值。二、角动量算符１、定义：角动量算符分量式为２、角动量平方算符：利用直角坐标和球坐标变量之间的关系可得这样３、角动量　分量算符　：或４、角动量平方算符的本征值方程：（17）（14’）§7.3厄密算符本征函数的正交性一、属于动量算符不同本征值得两个本征函数和互相正交：引入函数的标积：则(1),(2)两式可以简化记为：当动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它

6、们的本征值是实数。以上正交性仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。证：又（厄密的本征值为实数）（1）式右乘，积分：简记：（2）式左乘：简记：根据厄密算符的定义简记：联立（4）、（5）即：简记：(6)式移项：简写：而，必有简写：或表示为：(6)其中符号如果的本征值不分立，而是构成连续谱。则本征函数可以归化为函数：例如动量算符本征函数2.正交归一本征函数一例：无限深势阱能量本征函数（9）是体系属于的能量算符的本征值的本征函数，对不同的值（能级)正交：其中：证：积化和差3

7、.是的本征值的本征函数的正交性三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数互相正交）1）线性谐振子2.角动量算符的本征函数，本征值3.角动量平方算符的本征函数，属于本征值：2）一维势阱缔结legendre函数正交性：而球谐函数：4.氢原子波函数，算符：n不同:三个量子数均不同：四、简并态函数的正交性当的本征值是度简并：一般而言不正交，但可用个常数将个函数重新组合成个新函数：总可以选择而使正交归一条件成立：一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。如对简并，但对则不简并，归一化为。§7.4算符与力学量的关

8、系根据数学物理方法中的证明，如果有一族函数构成正交归一完全系，则任意函数都可以用来展开为级数（广义傅里叶级数）。如果函数系不构成分立的集合，则可以展开为傅里叶积分。如果函数系和都是正交归一完全系。一、波函数按厄密算符的本征函数系展开1.分立谱如果是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一本征函