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1、第三章复变函数的积分基本要求：1、掌握积分概念和性质。2、理解柯西定理（闭路积分）。3、熟练应用柯西积分公式解题。重点：柯西定理、柯西公式。一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则称C为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.§1复变函数积分的概念22.积分的定义:(D3关于定义的说明:4二、积分存在的条件及其计
2、算法1.存在条件：若f(z)为连续函数且C是光滑曲线，则积分一定存在。（证明略）2.积分计算：5计算方法1的推导：计算方法2的推导：6连续曲线两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲线的数学表达过定点，倾斜角为的直线参数方程为：7其参数方程为复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：以(a,b)为圆心，半径为r的圆：8例1直线段C3:的方程为解：计算其中积分路径C分别为如下两种：直线段，和折线段写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：9例1续直线段方程为这两个积分都与路线C无关（格林定理）10y=x例2
3、11例3解积分路径的参数方程为12例4解积分路径的参数方程为13重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.14例5解(1)积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为15y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为16三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式17性质(4)的证明两端取极限得[证毕]18例6解根据估值不等式知19§2柯西－古萨基本定理f(z)不满足C-R方程,在复平面内处处不解析.此时积分与路线有关.由以上讨论可知,积分是否与路线无关,或沿闭曲线的积分值为0
4、的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：例1此时积分与路线无关.例2例4f(z)在以z0为中心的圆周内不是处处解析的，此时虽然在除z0外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域20积分定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分积分域区间平面区域空间区域曲线曲面曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：21二重积分22第一型曲线积分如果L是闭曲线,则记为设L是空间可求长曲线段,f(x,y)为定义在L上的函数，则可定义f(x,y)在空间曲线L
5、上的第一型曲线积分，并记作23第二型曲线积分变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用沿曲线L从点A移动到点B，则力F(x,y)所作的功由如下曲线积分给出：或也记为或简记为P、Q是连续函数24格林(Green)公式定理(格林公式)若函数在闭区域D上具有连续一阶偏导数，则有：其中L为区域D的边界曲线，并取正方向.25曲线积分与路线的无关性定理在D内具有一阶连续偏导数,(iii)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分(i)在D内处处成立与路径无关,只与L的起点及终点有关.设D是单连通域，函数则以下三个条件等价:26根据格
6、林公式：27柯西－古萨基本定理（柯西积分定理）定理中的C可以不是简单曲线.28关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.例根据柯西－古萨定理,有29§3复合闭路定理30︵︵设函数f(z)在多连通域D内解析31︵︵︵︵︵︵︵︵32得解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.︵︵︵︵33例1闭路变形原理：3435复合闭路定理36例2解依题意知,37根据复合闭路定理,38例3解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路
7、复合定理,39例4解由复合闭路定理有此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.40例5解由上例可知41定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)§4原函数与不定积分4243定理二此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.其证明也完全类似。44原函数:原函数之间的关系:证[证毕]推论：45不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.46例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,47例2解(使
8、用了微积分学中的“凑微分”法)48例3解此方法使用了微积分中“分部积分法”49例4解50一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭
