《复变函数的积分》PPT课件

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1、第3章复变函数的积分复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。3.1:复变函数的积分3.2:柯西-(古萨)积分定理3.3:复合闭路定理3.4:科西积分公式3.5:解析函数的高阶导数3.6:几个重要的定理3.7:解析函数与调和函数本章补充新题型本章小节本章测试题本章基本内容:重点内容:(1)柯西积分定理(单

2、、复连通区域);(4)调和函数的应用；(2)柯西积分公式(单、复连通,无界区域);(3)高阶导数公式及其应用;3.1复变函数的积分3.1.1复变函数积分的概念在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：定义3.1.1有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)如果曲线是开口弧段，若规定它的端点为起点，为终点，

3、则沿曲线从到的方向为曲线的正方向（简称正向），把正向曲线记为或.而由到的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为.(2)如果是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向．(3)如果是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则的正方向这样规定：当人沿曲线行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．定义3.1.2复变函数的积分设函数在给定的光滑或逐段光滑曲线上有定义，且是以为起点，为终点的一条有向曲线，如图3.1所示．把曲线任意分成n个小弧段，设分点

4、依次为,在某小弧段上任意取一点，并作和其中，记的最大长度为则当n无限增大，且时，如果无论对L的分法及的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作，即我们称之为复变函数的积分，简称复积分．定义3.1.3闭合环路积分当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为，并称为复变函数的闭合环路积分（简称环路积分）.为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向,若沿逆时针方向积分，可用环路积分表示.若沿顺时针方向积分，可用表示.由此可知，当，且小弧段长度的最大值时，不论对L的分法如何，点的取法如何，

5、只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于连续，则都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到(3.1.3)即我们可以把复积分的计算化为两个二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把理解为，则上式说明了两个问题：(1)当是连续函数，且L是光滑曲线时，积分一定存在；(2)可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.3.1.3复积分的基本性质(1)若沿可积，且由和连接而成，则（3.1.6）(2)常数因子可以提到积分号外，即（3.1.7）(3)函数和（差）的积分等于各函数积分

6、的和（差），即(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即（3.1.9）为的负向曲线．(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即(3.1.10)这里表示弧长的微分，即【证明】因为，其中分别表示曲线上弧段对应的弦长和弧长，两边取极限就得到（6）积分估值定理若沿曲线，连续，且在上满足，则(3.1.11)其中为曲线的长度．【证明】由于在上恒有，所以又，则成立。3.1.4复积分的计算典型实例公式（3.1.2）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分．当曲线积分的积分路径C由参数

7、方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分．例3.1.1计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段．【解】直线的方程可写成或于是又因由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以的值不论是怎样的曲线都等于，这说明有些函数的积分值与积分路径无关．3.1.5复变函数环路积分的物理意义而且有对应关系则故复变函数的环路积分为由场论知识可知：闭合环路积分的物理意义为,实部表示向量场沿曲线的环量．虚部表示向量场沿曲线的通量．3.2柯西积分定理早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条

8、基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）．定理3.2.1柯西积分定理如果函数在单连通区域内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域解析），那么函数沿边界L或区域内任意闭曲线的积分为零，即（3.2.1）或（3.2.2）证明：如图3.2所示，由于对函数在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的．再根据格林定理有由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件代入即得如果我们在该闭