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时间：2020-09-07
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1、一、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.例题.求下列级数的敛散区间:练习:解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;例2.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:•求部分和式极限二、幂级数和函数的求法求和•映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部
2、分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和例3.求幂级数法1易求出级数的收敛域为法2先求出收敛区间则设和函数为练习:解:(1)显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0例题.求下列幂级数的和函数：级数发散,(2)显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有x=1时,级数也收敛.即得三、函数的幂级数和傅里叶级数展开法•直接展开法•间接展开法1.将函数展开成x的幂级数.—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:1.函数的幂级数展开法2.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和
3、.解:于是并求级数2.函数的傅里叶级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法练习:上的表达式为将其展为傅里叶级数.例题.设f(x)是周期为2的函数,它在解答提示思考:如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理,当x=0时,有提示:
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