《幂级数性质》PPT课件.ppt

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1、§12.4.2幂级数性质幂级数不仅形式简单,而且具有优良的分析性质.通过本节学习,要求做到：2.会用幂级数的性质求和函数.1.理解幂级数的运算性质和分析性质;定理1设则对用级数和的定义----部分和的极限可以证明:(1)(2)一、幂级数的线性运算性质及任意常数,有:(常数因子可以提出)(级数相加可合并系数)则评注1)上述运算不改变收敛半径,故可在收敛区间上反复进行;二、和函数的分析运算性质(1)s(x)在上连续:(2)s(x)在上可导,且可逐项求导：(3)s(x)在上可积,且可逐项积分：2)运算未涉及收敛区间的端点,故结果级数的收敛域仍需讨论.定理2设3)应用

2、----给出了幂级数求和函数的主要方法根据微分和积分的关系,借助几何级数的求和结果,有公式:或例1求下列级数的和函数①②解①此处的收敛半径r=1.在端点处,(在收敛区间求出和函数,和函数定义域即级数收敛域)对原级数显然发散,和函数也无定义..解②此处r=1,而在x=1处,函数无定义.收敛,故对注意到端点处,且函数有意义;例2对下列级数求和：解⑴由上例1可知：故⑴⑵由于此处⑵在⑴中取即得注和函数为数项级数求和提供了另类重要途径.如:解由例2知,该级数的收敛半径r＝+∞.例3可得解此一阶微分方程(分离变量,积分求解):的和函数.设亦即①②例4求和函数提示这里半径等

3、于1;先积分化为几何级数,后求导即得和函数提示这里r=1;先求导化为几何级数,后积分即得和函数提示取级数则有r=1,由于所以(互动练习)例5对求和(互动练习)在收敛区间(-1,1)上:注根据需要,求和函数时可以多次应用级数的分析性质.答不一定.例如,对计算可知:它们的收敛半径都是1,但收敛域却分别是:三、有关分析性质的问题与思考1.幂级数的连续性、逐项积分均保持其收敛域不变,那么逐项求导后,其收敛域是否也不变？逐项求导,得到:2.在幂级数中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答不能.因为当时级数收敛,时级数发散,原因可以证明比值判别法成立根值判别法成

4、立.3.和函数已知的常用幂级数有：以后均可作为幂级数求和函数的公式.2.书面作业1.课外练习五、作业书P222:习题9；10；书P200:习题3；4；