第四讲——整式的乘除与因式分解讲义.pdf

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1、.整式的乘除与因式分解一、基础知识1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。2如：2abc的系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。222如：a2abx1，项有a、2ab、x、1，二次项为a、2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式

2、和多项式。mnmn4、同底数幂的乘法法则：aaa（m,n都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。mnmn5、幂的乘方法则：(a)a（m,n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。mnmnnm幂的乘方法则可以逆用：即a(a)(a)nnn6、积的乘方法则：(ab)ab（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。mnmn7、同底数幂的除法法则：aaa（a0,m,n都是正整数，且mn)同底数幂相除，底数不变，指数相减。..8、零指数和负指数；0a1，即任何不等于零的数的零次方等于1。p1ap（a0,p是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个a数的p次方的倒数

3、。9、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。10、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式

4、的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。11、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。..2212、平方差公式：(ab)(ab)ab公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。22213、完全平方公式：(ab)a2abb公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意：2222ab(ab)2ab(ab)2ab22(ab)(a

5、b)4ab222(ab)[(ab)](ab)222(ab)[(ab)](ab)14、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式15、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：(ambmcm)mammbmmcmmabc16因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。1、提公因式法.：如果一个多项式的各项含有公

6、因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、..ma+mb+mc=m(a+b+c)（m可以表示单项式，也可以表示多项式）2、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：2222（1）(a+b)(a-b)=a-b---------a-b=(a+b)(a-b)；222222(2)(a±b)=a±2ab+b———a±2ab+b=(a±b)；3、分组分解法(1)分组后能直接提公因式amanbmbn=m（a+b）+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2)分组后能直接运用公式22xyaxay=(x+y)(x-y)+a(x+

7、y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式——x(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。22凡是能十字相乘的二次三项式ax+bx+c，都要求b4ac>0而且是一个完全平方数。2(二)二次项系数不为1的二次三项式——axbxc条件：（1）aa1a2a1c1（