整式的乘除与因式分解讲义

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1、整式的乘除与因式分解一、基础知识1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、同底数幂的乘法法则：（都是正整数

2、）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。5、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方法则可以逆用：即6、积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。7、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。8、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计

3、算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。3、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。4、平方差公式：公式特征：

4、左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。5、完全平方公式：公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意：1、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式2、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，

5、在把所的的商相加。即：16因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。1、提公因式法.：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c)（m可以表示单项式，也可以表示多项式）2、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；3、分组分解法(1)分组后能直接

6、提公因式=m（a+b）+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2)分组后能直接运用公式=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。(二)二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=三、常见例题【例1】若，则=.计算【例2】【例3】计算【例4】下列运算正确的是（）A、B、C、D、【例5】利用平方差公式计算：20

7、09×2007－20082【例6】已知是的三边，且，则的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【例7】分解因式：【例8】分解因式：【例9】已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.【例10】分解因式：【例11】分解因式：2x2y－8xy＋8y【例】分解因式四、中考真题1、（2012，陕西）计算的结果是（）A．B．C．D．2、（2012，陕西）分解因式：．3、（2013，张家界）下列各式