受迫耗散Boussinesq方程的可积性质和孤波解的探讨-论文.pdf

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1、第44卷第17期数学的实践与认识Vl01．44．NO．172014年9月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSep．，2014受迫耗散Boussinesq方程的可积性质和孤波解的探讨孟祥花，许晓革(北京信息科技大学理学院，北京100192)摘要：考虑到耗散效应和地形外力，Rossby波的振幅可由受迫耗散Boussinesq方程来描述．当包含这两项时，模型比较复杂，不具有Painlev6性质．通过将模型双线性化，双线性．方法是一个可寻找孤波解和BScklund变换的方法．通过截断的Painlev6展开式，得到了将方程双线性化的合适的

2、因变量变换．然后得到了受迫耗散Boussinesq方程的单孤波解和BScklund变换．关键词：受迫耗散Boussinesq方程；Painlev6性质；双线性方程；孤波解；B~cklund变换1引言1872年，Boussinesq方程被提出来用于描述小振幅浅水长波的传播[1]．Boussinesq方程形式如下[】札tt—c∞一札一(U2)=0其中Ol，和ci是正常数．该方程具有孤波解，在流体力学中非线性波传播的研究中起着非常重要的作用．关于高维、变系数和其他形式的Boussinesq方程研究已经吸引了许多的数学家、物理学家和工程师的关注，特别是利用解析方

3、法研究孤波解和性质[3-4j．在孤子理论中，已经发展了许多系统化的方法研究非线性偏微分方程(PDE)，比如逆散射方法[5-6】，Darboux变换[7】．分离变量法Is]，双线性方法，Painlev6展开法等[9-12]．文献【12】中提出了直接将Painlev6猜想应用于非线性偏微分方程的Painlev6PDE检测．除了可以判断一个PDE是否具有PainlevO陛质，截断在常数项的Painlev6展开式可以用于寻找双线性形式的因变量变换，即使对于未通过检测的PDE．双线性方法是由Hirota提出来的【l3]．现今，该方法已经发展为一个有效的寻找PDE孤

4、波解的直接方法，也可以得到若干其他性质如BScklund变换[14-15]．近来，由于带有受外力项的非线性发展方程具有重要的物理意义，这类方程已经引起了数学和物理研究者的关注．比如受迫KdV方程可以控制海底山崩引起的海啸[16-17]，其孤波解和传播性质已经被广泛地进行了解析和数值研究[18-20】．Rossby波是行星尺度内海洋和大气运动的基本分量．外力因素在运动中起着非常重要的作用．比如，地形在扰动提升振幅时有着明显的影响([21—22]及其参考)．考虑到真正的海洋和大气运动是耗散的，在文献[22】中，利用扰动方法，从考虑耗散和地形效应的地旋风潜在涡

5、旋中提出了受迫耗散Boussinesq方程，收稿日期：2014．06．22资助项目：国家自然科学基金(61072145)；北京市优秀人才项目(2013D005007000003)通讯作者302数学的实践与认识44卷其形式女ⅡF其中A=A(x，t)是Rossby波振幅，al，a2，a3，，a4anda5均为常系数，是耗散项，H(x，t)代表地形外力．在文献[22]中，作者推导出了该控制Rossby波振幅的数学模型，并利用修正A的Jacobi托椭圆函数展开法和伪谱法研究了该方程．目前，对于该方程的各类研究还未广泛开+展．为了更0好地理解带有耗散和外力项的Ro

6、ssby波传播特征和方程(1)的性质，本文将研究方程(1)A的可积性质如Painlev~性质，B~cklund变换和孤波解等．2Pain+lev~检测n2A在本部分中，我们将利用符号计算进行受迫耗散Boussinesq方程(1)的Painlev5检测．假设方程(1+)有如下形式的解032AA=一：Aj，=+()(2)j=oz其中砂(t)，Aj(J=0，1，⋯)都是在由(，t)≠0定义的非本征奇异流形的邻域内的解析函+数，其中An0≠0．通过首项分析，可以得到4An：一—6a1~~f31A—a3=n把表达5式(2)带入到方程(1)中并取的系数，我们可以得到

7、，％(J一6)0—5)—4)0+1)al』=0(4)共振项为J=一1，4，5，6，其中J=一1对应于函数()的任意性．然后，我们将检验在正的共振项处相容性条件自动成立从而方程(1)有解(2)．利用符号计算，我们可以得到A1=6alCxx，，(5)其中，表l示的是对变量t的导数．在J：4，5处的相容性条件自动成立，而在J：6处的相容性条件得到以下方程2pa4~"(t)+——一n5Hx：0(6)显然，如果没有耗散项和外力项，方程(1)约化为标准Boussinesq方程，其可通过Painlev~检测．然后，对于方程(1)来说，由于a4和均为非零项，对于任意函数

8、来说，方程(6)不一定满足．因而可得受迫耗散Boussinesq方程不具有Pai