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1、椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M
4、
5、MF1
6、＋
7、MF2
8、＝2a，2a>
9、F1F2
10、}.(3)2a与
11、F1F2
12、的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>
13、F1F2
14、动点的轨迹是椭圆2a＝
15、F1F2
16、动点的轨迹是线段F1F22a<
17、F1F2
18、动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大
19、小关系不确定【问题二】若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x，y)，依题意得
20、PA
21、＋
22、PB
23、＝10，所以＋＝10，即点P的轨迹方程为＋＝1.椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上 _________ (a>b>0)F1(－c，0)，F2______2c焦点在y轴上 __________ (a>b>0)F1 ，F2
24、(0，c)2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0，1)，焦距
25、F1F2
26、＝2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与
27、已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3，0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以
28、MC
29、＋
30、MP
31、＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝
32、CP
33、，所以动点M的轨迹是椭圆.设M(x，y)，据题，圆C：(x－3)2＋y2＝9，圆心C(3，0)，半径r＝3.由
34、MC
35、＝
36、MP
37、＋r，故
38、MC
39、－
40、MP
41、＝r＝3，【变式】若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M
42、的轨迹方程.即－＝3，整理得－＝1(x<0).【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足
43、PF1
44、＋
45、PF2
46、＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足
47、PF1
48、＋
49、PF2
50、＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝
51、F1F2
52、＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).类型二：
53、求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程.方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得由a>b>0知不合题意，故舍去②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).则解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.【变式】求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程
54、.据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，故所求的椭圆方程为＋＝1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦
55、点的距离之和等于10；解
