数值分析解析实验报告.doc

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1、数值分析实验报告姓名：袁义平学号：631122020223班级：信息与计算科学二班实验一误差分析实验1.1（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式显然该多项

2、式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动其中是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。23数值分析实验报告实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函数：“roots”和“poly”。其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程的全部根；而函数的输出b是一个n+1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数

3、。可见“roots”和“poly”是两个互逆的运算函数。上述简单的Matlab程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）中的。实验要求：（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？（2）将方程（1.2）中的扰动项改成23数值分析实验报告或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？（1）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（1.2）写

4、成展开的形式，同时将方程的解x看成是系数的函数，考察方程的某个解关于的扰动是否敏感，与研究它关于的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于的变化更敏感？思考题一：（上述实验的改进）在上述实验中我们会发现用roots函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab的帮助。实验过程：程序：a=poly(1:20);rr=roots(a);forn=2:21nform=1:9ess=10^(-6-m)

5、;ve=zeros(1,21);ve(n)=ess;23数值分析实验报告r=roots(a+ve);-6-ms=max(abs(r-rr))endend利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20);y=poly2sym(a);rr=solve(y)forn=2:21nform=1:8ess=10^(-6-m);ve=zeros(1,21);ve(n)=ess;a=poly(1:20)+ve;y=poly2sym(a);r=solve(y);-6-ms=max(abs(r-rr))23数值分析实验报告endend数值实验结果及分析：

6、23数值分析实验报告formatlong-6-mn-7-8-9-1022.797226874783311.867536320091581.060527623807480.2527314421904731.693766997674240.923106667069640.084716145697410.4080402640941140.854013934155360.199410220200610.03972935295834050.110311005388710.04296532362844006000070000800009000010

7、000011000023数值分析实验报告120000130000140000150000160000170000180000190000200000210000-6-mn-11-12-13-1420.038776764393800.162565848682800.13322664013598030.0216425831754600040000500006000023数值分析实验报告7000080000900001000001100001200001300001400001500001600001700001800001900002000

8、0021000023数值分析实验报告讨论：利用这种方法进行这类实验，可以很精确的扰动敏感性的一般规律。即当对扰动项的系数越来越小时，对其多项式扰动的结果也就越来越小，即扰动敏感性与扰动项的系数成正比，扰动项