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1、数值分析实验报告工程物理系二O—六年一月十日实验3.1（主元的选取与算法的稳定性）问题提出：Gauss消去法是我们在线性代数屮已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起來平凡,它却是数值分析中十分典型的问题。实验内容：考虑线性方程组Ax=b,AeR“编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss消去过程。实验要求：（1）取矩阵‘61、‘7、86115ooo,b=M86115
2、、86丿<14,,贝I」方程有解卅=（1,1,K,1）：取210计算矩阵的条件数。分别用顺列主元GAUSS消元法、完全主元GAUSS消元法，结果如何?序GAUSS消元法、（2）现选择稈序屮手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模战小或按模尽可能小的元索作为主元,观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元索作为主元，结果乂如何？分析实验的结果。（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过稈中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计
3、算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。3.1.1程序清单formatlong;n=input('^E阵的阶数：n=');sp_M=i叩utC矩阵的种类(l:Hilbert;2:随机矩阵；3:本题给出的矩阵;4：幻方矩阵)：sp_M=f);switchsp_Mcase(l);A=hilb(n);case(2);A=round(8*rand(n));case(3);A=6*diag(ones(1,n),0)+8*diag(ones(1,n-1),-l)+diag(ones(l1)J);case(4);A=magic(n);end;b=A*ones
4、(n,l);p=input(计算条件数的p・范数,p=)；cond_A=cond(A,p)Anyl=zeros(l,n);Any20=zeros(n,1);Any21=ze「os(n,l);Anyl2=eye(n);[m,n]=size(A);Ab=[Abl;Pro=input(计算方法(1：顺序高斯消元法；2,：列主元高斯消元法;3：完全主元高斯消元法;4：手动选主元法，Pro=');Abfori=l:n-lswitchProcase(l);case(2);[aii,ip]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=ip+i-l;Anyl=Ab(i
5、p,:);Ab(ip,:)=Ab(i,:);Ab(i,:)=Anyl;case(3);[Y,I]=max(max(abs(Ab(i:n,i:n))));%显示最大值列号I=I+i-l;[x1,r]=rnax(max(abs(Ab(i:n,i：n)')));r=r+i-l;Any2=Ab(:,I);%显示最大值行号Ab(:,I)=Ab(:,i);Ab(:,i)=Any2;Anyl=Ab(r,:);Ab(r,:)=Ab(i,:);Ab(i,:)=Anyl;Any21=Anyl2(:,I);%Ab阵I列与i列互换%Ab阵r行与i行互换Any12(:,I)=An
6、y12(:,i);Anyl2(:,i)=Any21;%列交换跟踪case(4);ip=input([第',num2str(i),'步消元，请输入笫;num2str(i),列所选元素所处行数：1)；Anyl=Ab(ip,:);Ab(ip,:)=Ab(i,:);Ab(i,:)=Anyl;end;aii=Ab(i,i);fork=i+l:nif(aii-=0)Ab(k,i:n+1)=Ab(k,i:n+1)-(Ab(k,i)/aii)*Ab(i,i:n+1);elsebreak;end;end;Abend;x=zeros(n,l);x(n)=Ab(n,n+1)/
7、Ab(n,n);fori=n-l:-l:lif(Pro==3)x(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);x=Anyl2A-l*x;elsex(i)=(Ab(i,n+1)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);end;endx3.1.2实验结果及分析(1)Cond(AJ)=2.557500000000000x103Cond(A,2)=1.727556024913821x103Cond(A,inf)=2.557500000000000x103未知数顺序高斯消元法列主元高斯消元法完全主元高
8、斯消元法X
9、1.00000000000000011Xo■1.0000000000
