初二数学培优讲义二十#菱形与矩形.doc

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1、第20讲菱形与矩形考点·方法·破译1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．经典·考题·赏析【例1】(衢州)如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．ABCDQP【解法指导】证明线段相等的方法有如下：⑴若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；⑵若在不同三角形中可利用全等三角形证明；⑶利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；(4)利用特殊四边形的边与

2、对角线的关系证明等．证明：∵四边形ABCD为矩形，△PBC、△QCD都是等边三角形∴BA＝CD＝CQ，∠PBA＝30°，BP＝CP，∠DCP＝∠BCQ＝30°，∴∠PCQ＝30°在△ABP和△QCP中BA＝CQ，∠ABP＝∠QCP，BP＝CP∴△ABP≌△QCP，∴PA＝PQ【变式题组】01．(荆州)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，连接DE．求证：DF＝DC．ABCDEF02．(荆州)如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于点P，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与PA相等的线段．并说

3、明理由．ABCED6图duAD,AB)___P03．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．ABCEDOABCEDO【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE＝BC，点O是线段CE的中点．⑴试说明CE平分∠BED；⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的长；⑶在直线AD上是否存在点F，

4、使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．【解】⑴∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC．又∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC．∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．⑵在Rt△中，AB＝3，BE＝BC＝5，∴AE＝4．在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝．在Rt△BOC中，BC＝5，CO＝，∴BO＝＝．(注：此处用面积法求BO也可)⑶在直线AD上存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形．ABCOxy延长ED至F，使得EF＝BC，此时四边形BCFE是菱形．∵AE＞DE，∴BE＞CE

5、，因此在EA的延长线上不存在点F，使得四边形BCEF为菱形．【变式题组】01．(烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y＝的图像上，菱形的面积为_________．Error!Nobookmarknamegiven.02．(益阳)两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：⑴如图1，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；⑵如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜

6、想四边形CDBF的形状，并说明理由．ABCFED图1FCEBDA图2【例3】(全国联赛)如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF＝__________．ABCFEDOPGFEDAPCOB【解法指导】因为P是AD上任意一点，故想求出PE、PF长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P与A重合时，PE＋PF就等于点A到BD的距离，因而只需要求出A到BD的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．”解：如图，过A作AG⊥BD于G，∵等腰三角形底边上的任意一

7、点到两腰距离之和等于腰上的高．∴PE＋PF＝AG．Rt△ABD中，AD＝12，AB＝5，BD＝13．S△ABC＝AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∴PE＋PF＝．Error!Nobookmarknamegiven.【变式题组】01．⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的