定积分的定义.doc

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1、yxOabxx+Δx　　　　2_3_1图形的面积近似为小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．yxOabxx+Δx　如果用表示图形的面积，由定积分的定义可知从这个问题的解决可以看出，当时，的几何意义就是由曲线与轴及直线所围的平面图形的面积．图形上端曲线方程为，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即将这块土地抽象成坐标系中的这个图形（如图2_3_1），图形上端曲线方程为，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即　0ax1x2xi-1xib再来看一般的情况，计算

2、如下图形的面积yxOab 　　 图形上面的曲线为，下面的曲线为，由定积分的几何意义可知图形的面积为或表示为　　　一个积分是在对称区间上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是这个结论可以由几何直观加以验证yxO－aa　　yxO－aa                                 　　从上图可以看出，当是奇函数时有；当是偶函数时有．　　从上图可以看出，当是奇函数时有；当是偶函数时有．yxO－aa　例1三角形底为1，高为2，求三角形的面积．解：按三角形面积公式有        yxO12用定积分计算（如图）                 

3、  例2梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．解：按梯形面积公式有           用定积分计算（如图）yxO122                   例3 求半径为2的圆的面积．解：按圆的面积公式有        yxO2   用定积分计算（如图）        令，则，时；时．                                                        例6求由，所围成的平面图形的面积．yxO11　 解：平面图形如图所示，在区间上               在区间上              由此得       例7 计算

4、．解：因为都是偶函数，是奇函数．所以是偶函数，是奇函数．由此得                                              课后作业1．利用定积分的几何意义计算下列定积分： （1）；        （2）.2．求由下列曲线所围平面图形的面积： （1）直线； （2）与； （3）与轴，在区间上.3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：  （1）；   （2）；   （3）.练习练习2求由曲线与直线围成的平面图形的面积．                         练习2求由曲线与直线围成的平面图形的面积．分析解：表示所求面积的定积分的积分区间是  

5、   .分析：两条曲线与所围成的面积表示为其中积分上下限是两曲线相距最远的两个交点的横坐标（如果有第3条曲线则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．分析：求与的交点，确定积分限．与的交点为，故积分区间为详解：与的交点为，故积分区间为．练习1求由曲线与轴及直线围成的曲边梯形的面积．解：在区间上的符号是        . 分析：一条曲线与轴在区间上所围成的面积表示为要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清在区间上的符号．提示：考虑在区间内是否与轴有交点，有则变号，没有则不变号．详解：与轴的交点为，在区间内．在区间上在区间上

6、与轴的交点为，在区间内．在区间上在区间上