2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.5 椭圆 Word版含解析..pdf

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1、8．5椭圆[知识梳理]1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F，F的距离的和等于常数(大于12

2、FF

3、)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦12点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M

4、

5、MF

6、＋

7、MF

8、＝2a，且2a>

9、FF

10、}，

11、FF

12、＝1212122c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>

13、FF

14、时，轨迹为椭圆；当2a＝

15、FF

16、时，轨迹为线段1212FF；当2a<

17、FF

18、时，轨迹不存在．12122．椭圆的标准方程和几何性质标x2y2y2x2准方＋＝1(a>

19、b>0)＋＝1(a>b>0)a2b2a2b2程图形续表3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x，y)，B(x，y)，则

20、AB

21、11221＝1＋k2

22、x－x

23、＝1＋

24、y－y

25、.12k2122b2(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.a5

26、．必记结论x2y2(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，

27、OP

28、a2b2有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，

29、OP

30、有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F的弦AB，则△ABF的周长为4a.12[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F、F的距离之和等于常数的点的轨迹是12椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F，F构成△PFF的周长为2a＋2c(其1212中a为椭圆的长

31、半轴长，c为椭圆的半焦距)．()x2y2y2x2(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．()a2b2a2b2答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化x2y2(1)(选修A1－1P例3)已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的35a225两个焦点分别为F，F，且FF＝8，弦AB过点F，则△ABF的周121212长为()A．10B．20C．241D．441答案D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF的周长为4a＝44

32、1.故选D.2x2y2(2)(选修A1－1PA组T)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧42654的一点，且以点P及焦点F，F为顶点的三角形的面积等于1，则点12P的坐标为________．1515答案，1或，－122解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F(－1,0)，F(1,0)，由题意可得点P到x轴的距12x2y215离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，54215所以x＝，21515∴P点坐标为，1或

33、，－1.223．小题热身x2y2(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为a2b23F，F，离心率为，过F的直线l交C于A，B两点．若△AFB12321的周长为43，则C的方程为()x2y2x2A.＋＝1B.＋y2＝1323x2y2x2y2C.＋＝1D.＋＝1128124答案Acc3解析由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又＝＝，a33x2y2∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.32x2y2(2)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点

34、分别为F，F，焦距a2b212为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MFF＝2∠12MFF，则该椭圆的离心率等于________．21答案3－1解析由已知得直线y＝3(x＋c)过M，F两点，所以直线MF11的斜率为3，所以∠MFF＝60°，则∠MFF＝30°，∠FMF＝90°，122112则MF＝c，MF＝3c，由点M在椭圆Γ上知：c＋3c＝2a，故e12c＝＝3－1.a题型1椭圆的定义及应用x2y2已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F的距典例125161离为3，则P到另一个焦

35、点F的距离为()2A．2B．3C．5D．7应用椭圆的定义．答案D解析根据椭圆的定义

36、PF

37、＋

38、PF

39、＝2a＝10，得

40、PF

41、＝7，故选122D.[条件探究]若将典例中的条件改为“F，F分别为左、右焦点，12M是PF的中点，且

42、OM

43、＝3”，求点P到椭圆左焦点的距离？1解由M为PF中点，O为FF中点，易得

44、PF

45、＝6，再利用椭1122圆定义易知

46、PF

47、＝4.1x2典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆4＋y2＝1上的一点P与两焦点F，F所构成的三角形称为焦点三角形．12→→(1)求P