2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第4章平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 Word版含解析..pdf

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1、第4章平面向量4．1平面向量的概念及线性运算[知识梳理]1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.特别提醒：(1)限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．(2)零向量与任何向量共线．(3)平行向量与起点无关．→→→→→→(4)若存在非零实数λ，使得AB＝λAC或AB＝λBC或AC＝λBC，则A，B，C三点共线．[诊断自测]1．概念思辨→→1(1)△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，则AE＝(AC＋4→AB)．()(2

2、)若a∥b，b∥c，则a∥c.()→→(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．教材衍化→→(1)(必修A4PA组T)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，785则()→→→→→→1414A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－AC3333→→→→→→4141C.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC3333答案A→→→→→→→→→4414解析AD＝AB＋BD＝AB＋B

3、C＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋3333→AC.故选A.(2)(必修A4PA组T)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，9212→→→→且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．答案b－a－a－b→→→→→→→→解析如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－→OB＝－a－b.3．小题热身(1)(2017·周口模拟)设a为单位向量，①若a为平面内的某个向0量，则a＝

4、a

5、a；②若a与a平行，则a＝

6、a

7、a；③若a与a平行且

8、a

9、0000

10、＝1，则a＝a.上述命题中，假命题的个数是()0A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与

11、a

12、a的模相等，但方0向不一定相同，故①是假命题；若a与a平行，则a与a的方向有00两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

13、a

14、a，故②③也是假0命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.1(2)设e，e是两个不共线的向量，且a＝e＋λe与b＝－e－e1212321共线，则实数λ＝________.1答案31解析∵a＝e＋λe与b＝－e－e共线，∴存在实数t，使得b1232111＝ta，

15、即－e－e＝t(e＋λe)，－e－e＝te＋tλe，∴t＝－1，tλ＝321123211211－，即λ＝.33题型1平面向量的基本概念典例判断下列各命题是否正确：(1)单位向量都相等；(2)

16、a

17、与

18、b

19、是否相等，与a，b的方向无关；→→(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；(5)两向量a，b相等的充要条件是

20、a

21、＝

22、b

23、且a∥b.根据向量的相关概念判定．解(1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它

24、们的方向不一定相同．→→→→(3)正确，∵AB＝DC，∴

25、AB

26、＝

27、DC

28、且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行→→→→四边形，则AB綊DC，且AB与DC方向相同．因此AB＝DC.(4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线．(5)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使

29、a

30、＝

31、b

32、，也不能得到a＝b.方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅

33、模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．aa4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．

34、a

35、

36、a

37、5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．冲关针对训练下列4个命题：(1)若向量a与b同向，且

38、a

39、>

40、b

41、，则a>b；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；(4)两

42、向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为________．答案(1)(2)(3)解析(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量平行．(3)不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线．(4)正确．题型2平面向量的线性运算典例1(2017·长沙模拟)若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()