2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.6 双曲线 Word版含解析..pdf

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1、8．6双曲线[知识梳理]1．双曲线的定义平面内与两个定点F，F(

2、FF

3、＝2c>0)的距离的差的绝对值为常1212数(小于

4、FF

5、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双12曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

6、

7、

8、MF

9、－

10、MF

11、

12、＝2a}，

13、FF

14、＝2c，其中a，c为常数1212且a>0，c>0：(1)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质y2x2标准方x2y2－＝1(a>0，－＝1(a>0，b>0)a

15、2b2程a2b2b>0)图形续表3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是12双曲线．()x2y2x2y2(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－m2n2m2n2xy＝0，即±＝0.()mn(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()x2y2y2x2

16、(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率a2b2b2a211分别是e，e，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()12e2e212答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化x2y2x2(1)(选修A1－1PT)已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公53385m共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()33A．x＝±yB．y＝±x6622C．x＝±yD．y＝±x22答案Dx2y2x2解析由椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，得m85mx2＋1＝8－5.所以m＝2，所以双曲线方程为－y2

17、＝1，所以双曲线的22渐近线方程为y＝±x.故选D.2(2)(选修A1－1P例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的511渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为________．2答案51a解析因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以2b1c2＝，即b＝2a.由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋4a2＝5a2，即＝5，所以e2a2c＝＝5.a3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m答案Ax2y2解

18、析由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，3m3b2＝3，故c＝a2＋b2＝3m＋3，不妨设F为双曲线的右焦点，故1F(3m＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y＝x，即x－my＝0，m

19、3·m＋1

20、由点到直线的距离公式可得d＝＝3，故选A.1＋－m2x2y2(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形a2b2ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2

21、AB

22、＝3

23、BC

24、，则E的离心率是________．答案22b2解析由已知得

25、AB

26、＝

27、CD

28、＝，

29、BC

30、＝

31、AD

32、

33、＝

34、FF

35、＝2c.a124b2因为2

36、AB

37、＝3

38、BC

39、，所以＝6c，a1又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去)．2题型1双曲线的定义及应用x2y2典例1(2017·湖北武汉调研)若双曲线4－12＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则

40、PF

41、＋

42、PA

43、的最小值是()A．8B．9C．10D．12利用双曲线定义得到

44、PF

45、＋

46、PA

47、＝2a＋

48、PB

49、＋

50、PA

51、，再利用

52、PA

53、＋

54、PB

55、≥

56、AB

57、求出最小值．答案Bx2y2解析由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，

58、412设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知

59、PF

60、＋

61、PA

62、＝4＋

63、PB

64、＋

65、PA

66、≥4＋

67、AB

68、＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴

69、PF

70、＋

71、PA

72、的最小值为9.故选B.(2018·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C：(x＋5)2＋典例21y2＝4，C：(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆2心C的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．x2答案－y2＝14解析设圆C的圆

73、心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r＞2，

74、CC

75、＝r＋2，

76、CC

77、＝r－2，11于是有或

78、CC

79、＝r－2

80、CC

81、＝r＋2，22∴

82、

83、CC

84、－

85、CC

86、

87、＝4＜25＝

88、CC

89、，即圆心C的轨迹L是以C，12121C为焦点，4为实轴长的双曲