复变函数第五章留数第二节留数.ppt

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1、第二节留数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考1一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线20(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)3定义记作的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值除后所得的数称为以如果4二、利用留数求积分说明:2.留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理在区域D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点函数5证[证毕]两边同时除以

2、且...如图62.留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那末规则1成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将7如果为的级极点,规则2证那末8+(含有正幂的项)两边求阶导数,[证毕]得9规则3如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点,且有10解析且在因此其中在解析且为的一级极点,11三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作1.定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，12.......证由留数定义有:(绕原点的并将内

3、部的正向简单闭曲线)包含在2.定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.[证毕]13说明:由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点:使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数)143.在无穷远点处留数的计算规则4说明:定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单.15现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周:于是有证16内除在外无其他奇点.[证毕]17四、典型例题例1求在的留数.解18例2求在的留数.分析是的三级零点由

4、规则3得计算较麻烦.19如果利用洛朗展开式求较方便:解20说明:如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求来计算留数.2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取21例3求在的留数.解是的四级极点.在内将展成洛朗级数:22例4计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,2324例5计算积分C为正向圆周:函数在的外部,除点外没有其他奇点.解根据定理2与规则4:25与以下解法作比较:被积函数有四个一级极点都在

5、圆周的内部,所以由规则326可见,利用无穷远点的留数更简单.例6计算积分C为正向圆周:解除被积函数点外,其他奇点为27由于与1在C的内部,则所以28五、小结与思考本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理.应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复积分.29思考题30思考题答案放映结束，按Esc退出.31