随机过程知识点汇总.pdf

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1、精品文档第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X，分布函数F(x)P(Xx)离散型随机变量X的概率分布用分布列pP(Xx)分布函数F(x)pkkkx连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)分布函数F(x)f(t)dt2．n维随机变量X(X,X,,X)12n其联合分布函数F(x)F(x,x,,x)P(Xx,Xx,,Xx,)12n1122nn离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量XEXxp连续型随机变量XEXxf(x)dxkk方

2、差：DXE(XEX)2EX2(EX)2反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量X,Y）：BE[(XEX)(YEY)]E(XY)EXEYXYB相关系数（两个随机变量X,Y）：XY若0，则称X,Y不相关。XYDXDY独立不相关0４．特征函数g(t)E(eitX)离散g(t)eitxp连续g(t)eitxf(x)dxkk重要性质：g(0)1，g(t)1，g(t)g(t)，gk(0)ikEXk５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布P(X1)p,P(X0)qEX

3、pDXpq二项分布P(Xk)CkpkqnkEXnpDXnpqnk泊松分布P(Xk)eEXDX均匀分布略k!1(xa)2正态分布N(a,2)f(x)e22EXaDX221欢迎下载。精品文档ex,x011指数分布f(x)EXDX0,x02６．Ｎ维正态随机变量X(X,X,,X)的联合概率密度X~N(a,B)12n11f(x,x,,x)exp{(xa)TB1(xa)}12nn12(2)2

4、B

5、2a(a,a,,a)，x(x,x,,x)，B(b)正定协方差阵

6、12n12nijnn二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设(,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个tT，都有一个随机变量X与之对应，则称随机变量族X(t,e),tT是(,P)上的随机过程。简记为X(t),tT。含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。当t固定时，X(t,e)是随机变量。当e固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集T和状态空间I是否可列，分四类。也

7、可以根据X(t)之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程X(t),tT的一维分布，二维分布，…，n维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数m(t)EX(t)表示随机过程X(t),tT在时刻t的平均值。X（２）方差函数D(t)E[X(t)m(t)]2表示随机过程在时刻t对均值的偏离程

8、度。XXB(s,t)E[(X(s)m(s))(X(t)m(t))]XXX（３）协方差函数且有B(t,t)D(t)XXE[X(s)X(t)]m(s)m(t)XX（４）相关函数R(s,t)E[X(s)X(t)](3)和(4)表示随机过程在时刻s，t时的线性相关程度。X2欢迎下载。精品文档（５）互相关函数：X(t),tT，Y(t),tT是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。B(s,t)E[(X(s)m(s))(Y(t)m(t))]XYXY，那么R(s,t)E[X(s)Y(t)]，称为互相关函数。E[X(s)Y

9、(t)]m(s)m(t)XYXY若E[X(s)Y(t)]m(s)m(t)，则称两个随机过程不相关。XY３．复随机过程ZXjYttt均值函数m(t)EXjEY方差函数ZttD(t)E[

10、Zm(t)

11、]2E[(Zm(t))(Zm(t))]ZtZtZtZB(s,t)E[(Zm(s))(Zm(t))]ZsZtZ(s,t)E[ZZ]协方差函数相关函数RZstE[ZZ]m(s)m(t)stZZ４．常用的随机过程（１）二阶距过程：实（或复）随机过程X(t),tT，若对每一个tT，都有EX(t)2（二阶距存在），则称该

12、随机过程为二阶距过程。（2）正交增量过程：设X(t),tT是零均值的二阶距过程，对任意的ttttT，有123