2019版数学人教B版选修4-5训练：1.2 基本不等式 Word版含解析.pdf

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1、1.2基本不等式课时过关·能力提升1.设x,y∈(0,+∞),且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是()A.40B.10C.4D.2解析:∵x,y∈(0,+∞),≤100.∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时等号成立.答案:D2.若a>b>1,P则A.Rb>1,∴lga>lgb>0,且a+lgb)∴Qa+lgb)=Q,R=l∴R>Q>P.答案:B3.若x>0,则4x的最小值是A.9B.C.13D.不存在解析:因为x>0,所以4x当且仅当2x即x时等号成

2、立.答案:B≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()4.已知不等式(x+yA.2B.4C.6D.8时等号成立.解析:(x+y≥1+a+当且仅当≥9对任意正实数x,y恒成立,∵(x+y∴≥9.∴a≥4.答案:B5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令由ab=a+b+3≥得t2≥2t+3,即t2-2t-3≥0.解得t≥3或t≤-1(不符合题意,舍去).故≥3.即ab≥9,当且仅当a=b=3时等号成立.答案:[9,+∞)6.若正实数x,y,z满足x-2y+3z=0,则的最小值是代入解析:由x-2y+3z=0,得y得当且仅当x=y=3z

3、时等号成立.答案:37.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则的最小值是解析:圆x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2).因为直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,化简得a+b=1(a>0,b>0).所以又因为ab≤所以≥4,当且仅当a=b时等号成立.答案:48.已知a,a,…,a都是正数,且a·a·…·a=1,求证:(2+a)(2+a)…(2+a)≥3n.12n12n12n证明因为a是正数,所以2+a=1+1+a≥111

4、同理2+a=1+1+a≥,n),jj将上述不等式两边相乘,得(2+a)(2+a)·…·(2+a)≥3n·12n因为a·a·…·a=1,12n所以(2+a)(2+a)…(2+a)≥3n.12n当且仅当a=a=…=a=1时,等号成立.12n★9.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3m,AD=2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.解:(1)设AN=x(x>2),则ND=x-2.-由题意,

5、得-∴S·x>32.矩形AMPN-∴3x2-32x+64>0.∴(3x-8)(x-8)>0.∴28.∪(8,+∞).∴AN的长的范围是--(2)S矩形AMPN--=3(x-2)-当且仅当x=4时等号成立.故当AN的长度为4m时,矩形AMPN的面积最小,矩形AMPN的最小面积为24m2.10.求函数y--的最大值解:解法一:函数的定义域为[a,b],y>0,所以y2=b-a+--≤2(b-a),当且仅当x时,等号成立.所以y有最大值-解法二:利用不等式--因为---≤所以y2≤2(b-a),即y≤--当且仅当x-a=b-x,即x时,等号成立,所以ymax