2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.7 离散型随机变量的方差 Word版含解析.pdf

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1、8．2.7离散型随机变量的方差[读教材·填要点]1．离散型随机变量X的方差与标准差(1)当离散型随机变量X有概率分布，p＝P(X＝x)，j＝0,1，…，n和数学期望μ＝E(X)jj时，就称D(X)＝(x－μ)2p＋(x－μ)2p＋…＋(x－μ)2p为X的方差，称DX为X的标准1122nn差．(2)X的方差描述了随机变量X向它的数学期望集中的程度，方差越小，X向数学期望μ集中的越好．(3)如果X是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X的方差D(X)就是总体方差σ2，X的数学期望E(X)就是总体均值μ.2．几个常见方差的计算公式(1)若Y＝aX＋b，a，b为常

2、数，即D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)当X服从二点分布(1，p)时，D(X)＝p(1－p)；(3)当X服从二项分布B(n，p)时，D(X)＝np(1－p)；nMMN－n(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，D(X)＝1－.NNN－1[小问题·大思维]1．离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量．2．D(X)的取值范围是什么？若b为常数，则D(b)为何值？n提示：①因为D(X

3、)＝(x－E(X))2p，iii＝1其中(x－E(X))2≥0，p≥0，ii所以D(X)的取值范围为[0，＋∞)．②因为b为常数，所以x＝x＝…＝x＝E(X)＝b，12n故D(b)＝0.3．D(X)与X的单位之间有什么关系？提示：D(X)的单位是X的单位的平方．求离散型随机变量的方差[例1](1)设随机变量X的分布列为()X12341111P4364则D(X)等于()2912117917A.B.C.D.1214414412(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这1一事件是相互独立的，并且概率是.3①求这位司机遇到红灯数X

4、的期望与方差；②若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的期望与方差．11112929[解析](1)选C由题意知，E(X)＝1×4＋2×3＋3×6＋4×4＝12，故D(X)＝1－1212912912911792×＋2－2×＋3－2×＋4－2×＝.4123126124144(2)解：①易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，1且X～B6，，31114∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××1－＝.3333②由已知Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200.由离散型随机变量的概率

5、分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．但需要注意，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率．1．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________．解析：依题意知X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.答案：0.162．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：设摸得白球的个数为X，C22依题意得P(X＝0)＝4＝，C256C1C18P(X＝1)＝24＝，C2156C21P(X＝2

6、)＝2＝.C21562812所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，51515322282116D(X)＝0－32×＋1－32×＋2－32×＝5151545226－216或DX＝2××1－×＝.666－145离散型随机变量方差的性质[例2](1)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6,2.4B．2,2.4C．2,5.6D．6,5.6214(2)已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝()33311A.B．－3948C.D.39

7、[解析](1)∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.214(2)由题意，知1×＋a×＝，解得a＝2，33342412∴D(X)＝1－32×3＋2－32×3＝9，28∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝.99[答案](1)B(2)D求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．3．已知η的分布列

8、为η01020506012121P35