2019年数学新同步湘教版选修1-2讲义+精练：第7章 7.4 复数的几何表示 Word版含解析.pdf

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1、7．4复数的几何表示[读教材·填要点]1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点P(a，b)；―→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OP＝(a，b)．3．复数的模―→―→复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OP，则OP的模叫作复数z的模，记作

2、z

3、，且

4、z

5、＝a2＋b2.4．共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数z＝a＋bi

6、(a，b∈R)，将复数a－bi称为原来的复数z的共轭复数，记作：z.(2)性质：①z＝z；②复平面上两点P，Q关于x轴对称它们所代表的复数相互共轭．5．复数加减法的几何意义―→―→如图：设复数z，z对应向量分别为OP，OQ，四边形OPSQ为平12―→―→行四边形，则与z＋z对应的向量是OS，与z－z对应的向量是QP.1212[小问题·大思维]1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点在原点．2．若复数(a－1)＋ai(a∈R)在复平面内对应的点P在第二象限，则a的取值范围是什么？a－1<0，提示：

7、由题意知即00，所以a的取值范围是(0,1)．3．若z与z互为共轭复数，那么

8、z

9、与

10、z

11、之间有什么关系？1212提示：设z＝a＋bi，则z＝a－bi，故

12、z

13、＝

14、z

15、.12124．什么数的共轭复数是它本身？提示：实数的共扼复数是它本身．5．从复数减法的几何意义理解：

16、z－z

17、表示什么？12提示：表示P与P两点间的距离．12复数几何意义的应用a2－a－6求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Za＋3满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方

18、．[自主解答](1)点Z在复平面的第二象限内，a2－a－6＜0，则a＋3解得a＜－3.a2－2a－15＞0，(2)点Z在x轴上方，a2－2a－15＞0，则a＋3≠0，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；

19、当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．―→―→1．在复平面内，O是原点，若向量OA对应的复数z的实部为3，且

20、OA

21、＝3，如果点―→A关于原点的对称点为点B，求向量OB对应的复数．解：根据题意设复数z＝3＋bi，―→由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA＝(3，b)，―→已知

22、OA

23、＝3，即32＋b

24、2＝3，解得b＝0，故z＝3，点A的坐标为(3,0)．因此，点A关于原点的对称点为B(－3,0)，―→所以向量OB对应的复数为z′＝－3.复数模的求法(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且

25、z

26、＝5，则复数z＝()A．1＋2iB．－1－2iC．±1±2iD．1＋2i或－1－2i(2)设复数z＝a＋2i，z＝－2＋i，且

27、z

28、＜

29、z

30、，则实数a的取值范围是()1212A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)[自主解答](1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由

31、z

32、＝5得

33、a2＋4a2＝5，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为

34、z

35、＝a2＋4，

36、z

37、＝4＋1＝5，12所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案](1)D(2)B计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．已知复数z＝2＋3i，z＝a－2＋i，若

38、z－z

39、＜

40、z

41、，求实数a的取值范围．12121解：由条件可知z－z＝(4－a)＋2i.12又

42、z－z

43、＜

44、z

45、，即4－a2＋4＜4＋9，121解得1＜a

46、＜7.所以实数a的取值范围是(1,7).共轭复数的应用10设z∈C，z为z的共轭复数，若z·z＋iz＝，求z.3＋i[自主解答]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)．10∵＝3－i，∴(a＋bi)(a－bi)＋i(a＋bi)＝3－i.3＋ia2＋b2－b＝3，a＝－1，a＝－1，∴解得或