2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.1 1.1.1 不等式的基本性质 Word版含解析.pdf

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1、1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．1.1不等式的基本性质[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系设a，b∈R，则①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.2．不等式的基本性质(1)对称性a＞b⇔b＜a(2)传递性a＞b，b＞c⇒a＞c(3)加(减)a＞b⇒a＋c＞b＋ca＞b，c＞0⇒ac＞bc；(4)乘(除)a＞b，c＜0⇒ac＜bc(5)乘方a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)(6)开方nna＞b＞0⇒a＞b(n∈N，n≥

2、2)(7)加法法测a>b，c>a⇒a＋c>b＋d(8)乘法法测a>b>0，c>d>0⇒ac>bd[小问题·大思维]a1．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤yb＞这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？x提示：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，则∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．a3b2又∵＝＝－1，＝＝－1，y－3

3、x－2ab∴＝，因此⑤不正确．yx由不等式的性质可推出②④恒成立．即恒成立的不等式有②④.112．若a吗？ab提示：不一定．如a＝－1，b＝2.事实上，11当ab>0时，若a；ab11当ab<0时，若a

4、2－2x的大小．[精解详析](x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)133∵x2－x＋1＝x－22＋4≥4＞0，∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0.即x3－1＞2x2－2x；当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x.当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差→变形→定号→结论

5、，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．1．当a≠0时，比较(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．解：两式作差得(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)2－(2a)2]－[(a2＋1)2－a2]＝－a2.∵a≠0，∴－a2<0.∴(a2＋2a

6、＋1)(a2－2a＋1)<(a2＋a＋1)(a2－a＋1).不等式性质的简单应用[例2]下列命题中正确的是()(1)若a＞b，c＞b，则a＞c；a(2)若a＞b，则lg＞0；b(3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd；11(4)若a＞b＞0，则<；abab(5)若＞，则ad＞bc；cd(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c.A．(1)(2)B．(4)(6)C．(3)(6)D．(3)(4)(5)[思路点拨]本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．[精解详析](1)错误．因为

7、当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立．aa(2)错误．因为a、b符号不确定，所以无法确定＞1是否成立，从而无法确定lg＞0bb是否成立．(3)错误．此命题当a、b、c、d均为正数时才正确．111(4)正确．因为a＞b，且a、b同号，所以ab＞0，两边同乘以，得＜.abab(5)错误．只有当cd＞0时，结论才成立．(6)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b，所以a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．[答案]B运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一

8、个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．112．若m，n∈R，则>成立的一个充要条件是()mnA．m>0>nB．n>m>0C．m⇔－>0⇔>0⇔mn(n－m)>0⇔mn(m－n)<0.mnmnmn答案：D利用不等式的性质求取值范围4ππ[例3]已知π<α＋β<，－π<α－β<－，求2α－β的取值范围．33