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1、第二章度量空间作业题答案提示1、试问在上，能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有,而，2、试证明：（1）;(2)在上都定义了度量。证：（1）仅证明三角不等式。注意到故有（2）仅证明三角不等式易证函数在上是单调增加的，所以有,从而有令,令即4.试证明在上，定义了度量。证：（1）（因为x,y是连续函数）及显然成立。5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证：8.试证明下列各式都在度量空间和的Descartes积上定义了度量证：仅证三角不等式。（1）略。(2)设，，则（3）9、试问在
2、上的是什么？上图像以为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑并确定使得的最小，其中。11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设是离散度量空间的任一子集。，开球，故事开集。同样道理，知是开的，故又是闭集。12．设是的聚点，试证明的任何邻域都含有的无限多个点。证：略。13．（1）若度量空间中的序列是收敛的，并且有极限，试证明的每个子序列都是收敛的，并且有同一极限。（2）若是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列，，试证明也是收敛的，并且有同一极限。（1）略（2），，当时，有
3、，（是Cauchy序列且）因此，当时，18.试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若是Cauchy序列，则存在,使得对于一切,有,因此，对于一切，有19.若和都是度量空间中的Cauchy列，试证明：是收敛的。证：根据三角不等式，有故，同样有：即：而是完备的，则是收敛的。34.若是紧度量空间，并且是闭的，试证明也是紧的。证明：因为是紧的，故中任一序列有一个在中收敛的子序列。不妨设，则有。又因是闭的，所以，因此是紧的。第三章线性空间和赋线性空间10.试证明下列都是上的数（1）；(2);(3);是数吗？
4、（1）、（2）和（3）的证明略不是数，不满足三角不等式。以为例，令则13.试证明（1）、和都是的线性空间，其中是收敛数列集；是收敛数列0的数列集；是只有有限个元素的数列集。（2）还是的闭子空间，从而是完备的。（3）不是的闭子空间。证明：（2）设，,使得.则有任意的，使得对于一切，当,时有,又因为，所以当时从而有于是，故14.试证在赋线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。令，则，且于是，收敛但15.设是赋线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。证：设{X}是X中任一Cau
5、chy列，则kN，n，s.t.当m，nn时，。而且对一切的k，可选取n>n，从而{S}是{S}的一个子列，并且令X=S，X=S-S，则{S}是级数的部分和序列，从而于是绝对收敛，故收敛。不妨设SSX，由于{X}是Cauchy列，故又由于{S}是任意的，故证明X是完备的。17.设（X，）和（X，）是赋线性空间，试证明其Descarts积X=X*X在定义数=max{，}后也成为赋线性空间。证：（1）=0==0X=（0,0）=（2）=max{，}=max{，}=（3）设X=（X，X），y=（y，y），则2
6、0.（1）若和是X上任意两个等价数，试证明（X，）和（X，）中的Cauthy序列相同（2）试证明习题10中的三个数等价证：设{X}是（X，）中的任一Cauthy序列，即，N，当n，m>N时，由于和是X上任意两个等价数，所以存在正数a，b使ab（*）于是当nm>N时，有即x是（X，）中的Cauthy序列。反之，若{x}是（X，）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证{x}是（X，）中的Cauthy序列。（2）R是有限维赋线性空间，其上的数都是等价的。20(2)的直接证明：证明在中，数、和等价
7、，其中；；证，，故和等价。由Cauchy-Schwart不等式，得，故有再有我们得故与等价29.若：是可逆的线性算子，x1,,xn是线性无关的，试正明,,也是线性无关的.证：若存在λ1，，λn∈Ф且不全为零，使得,则由于存在且为线性的，故,与x1,,xn线性无关矛盾。32.若是有界性算子，试证明对满足的任意，都有.思路：由即证结论。33.设Τ：∞→∞使得，试证明证：设，，则=从而T是线性算子.,所以.进一步可以证明.37.设使得（1）试求和（2）试问吗？（1）是满足且在上连续可微分的函数构成的的子空
8、间，且。（2）是线性的，但是无界的。事实上，，蕴含着38.在C[0,1]上分别定义和(1)试问S和T是可交换的吗?(2)试求，，和修改，，，(1),,故，S和T不是可交换的。(2),所以令，则于是类似可求：，，。39.在上定义数，并设T：使得，其中试证明。证：，则T（）=(t-)+y(t-)=,即T是线性算子===，40、证明下列在C上定义的泛函是有界线性泛函：（1），固定；（2）证：（1）线性性略令B==，则有=B（b-a），故有B（b-a）（2）略41、设上的线性
