泛函分析报告

《泛函分析报告》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、成都理工大学泛函分析报告姓名：涂君学号：2016020398授课教师：李为学院：地球物理学院专业：地球探测与信息技术对泛函分析的认识-1概论-1拓扑线性空间-1巴拿赫空间(Banach)一1希尔伯特空间(Hilbert)-1算子-2线性算子和线性泛函-2非线性算子-2选择公理-2历史简介-3背景-3总结-4知识总结-5空间总结-51、距离空间-52、赋范线性空间-53、Banach空可-64、内积空间-75、可分空间-86、零空间-87、H*空间-8总结一8对泛函分析的认识:hi泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构

2、成的空间。泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多•沃尔泰拉(VitoVoIterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。拓扑线性空间由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。拓扑线性空间的定义就是一个

3、带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。巴拿赫空间(Banach)这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数P,如果P21,—个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的P次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。Banach空间是完备线性空间。希尔伯特空间(Hilbert)希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于

4、有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。Hilbert空间是完备的内积空间。算子在具体的函数空间上，我们有对函数的各种各样的操作。最典型的是对函数求导数的操作。这样的操作一般叫做算子。作为一个拓扑空间之间的映射，我们总可以要求算了是连续映射。对拓扑线性空间上的算子的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域。线性算子和线性泛函最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理。1•一

5、致有界定理(亦称共鸣定理)，该定理描述一族有界算子的性质。该定理有弱条件得出来了强的结论。2.罕-巴拿赫定理(Hahn-BemschTheorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。3•开映射定理和闭图像定理。非线性算子更一般的我们会遇到非线性的算子。最简单的例子就是各种函数空间上不同的能量泛函。非线性的算子在微分几何和微分方程理论中都扮演重要的角色。选择公理泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理(Zorn'sLemma)。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理

6、(AxiomofChoice)弱于布伦素理想定理(Booleanprimeidealtheorem)的一个形式。历史简介n匕旦冃示十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几米得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、

7、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了