泛函分析读书报告

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1、泛函分析读书报告泛函距离空间读书报告距离空间读书报告一距离空间基本概念定义1设X是任意空集，对x中任意两点x，y有一实数d(x,y)与之对应且满足：(1)d?x,y??0且d(x,y)=0,当且仅当x=y；(2)d(x,y)=d(y,x)（对称性）；(3)d(x,y)?d(x,z)+d(z,y)(三角形不等式).称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集X称为一个距离空间,记为（X,d）,在不引起混乱的情形下简记为X.定义2设?xn?是距离空间（X,d）中的一个点列,x0是X中的一点,如果当n??时,d(xn,x0)?0,则称当n??时,?xn?以x0

2、为极限,或当n??时,?xn?收敛于x0.记为xn?xo(n??)有关极限的两个简单性质:设?xn?是距离空间（X,d）中的收敛点列,则(1)?xn?的极限是唯一的;(2)如果?xn?以x0为极限,那么?xn?的任意子列必收敛且以x0为极限.下面有几个距离空间的例子.和在距离空间中收敛性的涵意.例1空间RnX是n元实数组全体,定义d(x,y)??(?k?1nk??k)2,其中,x?(?1,?2,???,?n),y?(?1,?2,???,?n).通过验证d满足距离的三条公理.所以(X,d)是一个距离空间。以后把这个空间简记为Rn.在空间Rn中,易见空间的收敛就

3、是按坐标收敛.例2空间C[a,b]考虑区间[a,b]上所有的连续函数集，设x(t),y(t)是[a,b]上任意两个连续函数，定义d(x,y)?maxx(t)?y(t)，a?t?b通过验证d满足距离的三条公理.所以[a,b]上的连续函数全体，赋以上述距离是一个距离空间，记为C[a,b].C[a,b]的收敛是函数列在[a,b]上的一致收敛.例3离散空间D设X是任意非空集,在X中定义d如下:?0,x?y,d(x,y)???1,x?y不难验证d是一个距离,从而是一个距离空间,称这个空间为离散空间,用D的表示.在离散空间D中,?xn?收敛于x0当且仅当,从某一下标开始

4、,?xn?为常驻列?x0?.二距离空间中的点集1开集与闭集点P0的δ邻域:O(p,?)?{p

5、d(p0,p)??}0点P0为E的内点:???0,使得O(p0,?)?E记E0为E的内部（内点全体）点P0为E的外点:???0,使得O(p0,?)?E??c点P0为E的边界点:???0,有O(p0,?)?E??且O(p0,?)?E??记?E为E的边界（边界点全体）定义1若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集.X是距离空间，X中的开集有以下几点性质:（1）空集和全空间X为开集；（2）有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）；（3）任意多个开集之并为开

6、集.点P0为E的接触点：???0,有O(p0,?)?E??点P0为E的聚点：???0,有O(p0,?)?(E?{p0})??记E为E的闭包（接触点的全体）注意：聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E.定义2设A是距离空间X中的集,如果A=A,则称A为闭集.任一的闭包E是闭集,它是包含E的最小闭集.任一开集的余集是闭集,任一闭集的余集是开集.X是距离空间，X中的闭集有以下几点性质:（1）空集和全空间X为闭集；（2）有限多个闭集之并为闭集（无穷多个闭集的并集未必是闭集）；（3）任意多个闭集之交为闭集.2稠密子集可分距离空间设A,B是距离空间X中的子集,

7、如果B?A,称B在A中稠密.事实上,设A、B是直线上任意两个集，若B的任意一点x的任意领域(?,?)中总含有A的点，则称A在B中稠密.当B?R1时，称A是直线上的稠密集.定义3设X是距离空间,如果X中存在一个稠密可数子集,则称X是可分的.Rn是可分的,C[a,b]可分.例空间l不可分??k?,y???k?是两个有界实数列,定考虑有界实数列之全体,设x??义d(x,y)?sup?k??k.k上述距离空间记为l,是不可分的.?三完备距离空间定义1设X是距离空间，?xn?是X中的点列,如果对任意??0,存在自然数N,当m,n>N时,d(xm,xn)??,称?

8、xn?是一个Cauchy列.如果X中任意Cauchy列都收敛,称距离空间X是完备的.由以上定义可以得到一下结论:(1)距离空间中任一收敛点列是Cauchy列;(2)完备距离空间的任一闭子空间也是完备的.在具体空间中Rn是完备的.C[a,b]是完备的.事实上,?xn?是C[a,b]中任一Cauchy列,则任意??0,存在自然数N,当m,n>N时,?t(a,b),xn(t)?xm(t)??,由此,函数列?xn?一致收敛,并且它的极限函数x(t)是[a,b]上的连续函数,即它是C[a,b]中元.在上面不等式中令m??,则?t??a,b?,?n?N,有xn(t

9、)?x(t)??,这表明d(xn,x)?0(n??)