数列的求和方法.doc

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1、数列的求和方法湖北省团风中学一：公式法：（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求和公式.（3）常用公式：1.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10等于（）A.171B.21C.10D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.2.数列{an}的通项公式为an=4n-1,令bn=,则数列{bn}的前n项和为（）A.n2B.n(n+2)C.n(n+1)D.n(2n+1)【答案】B【解析】∵an=4n-1,∴数列{an}是等差数列，且a1=4-1=3,∴bn==2n+

2、1.显然数列{bn}是等差数列，且b1=2+1=3，它的前n项和Sn=b1+b2+…+bn==n(n+2).二:倒序相加法：1.求和解法一：Sn又可写成解法二：2.求和：．解：设，又∵，∴，．三：裂项相消法：把数列通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾等项。常见拆项公式：；1.数列{an}的通项是an=，若前n项和为10，则项数n为（）A.11B.99C.120D.121【答案】C【解析】因an=，故Sn=(-1)+(-)+…+()=-1,由Sn=10,故n=120.2.Sn=1++…+等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】an=,∴Sn=2［(1-)+(

3、-)+…+()］=2(1-)=.3.求和解:4.等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52;(1)求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前99项的和.【解析】(1)设数列{an}公差为d(d＞0),∵a1,a3,a9成等比数列,∴a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d.①∵d≠0,∴a1=d.∵Sn=a52,∴5a1+·d=(a1+4d)2.②由①②得：a1=d=,∴an=+(n-1)×=n.bn=.∴b1+b2+b3+…+b99=［99+(1-)

4、+(-)+…+()］=(100-)=.四：验证法1.数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）,…的前n项和等于（）A.2nB.2n-nC.2n+1-n-2D.n·2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.2.已知数列{an}满足an=则{an}的前2k-1项的和为()A.k2-k+1-B.k2+k+1-C.D.【答案】A【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。五：错位相减法：1.数列1，，，，…，的前n项和等于()A.Sn=3-－B.Sn=3--C.Sn=3-－D.Sn=

5、3-n2n-【答案】A【解析】令Sn=1+++…+,①则Sn=++…+.②①-②得∴Sn=1++…+=1+=.∴Sn=3--,故选A.2.求和=解：=两式相减：∴=+∴3.求a+2a2+3a3+…+nan.【解析】设S=a+2a2+3a3+…+nan.若a=0,则S=0；若a=1,则S=;若a≠0,且a≠1,则S=a+2a2+3a3+…+nan,①aS=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②①-②得：（1-a）S=a+a2+…+an-nan+1=-nan+1.∴S=.六:分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。1.已

6、知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_________________.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13…+57=1+(9-5)+(17-13)+…+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,∴S15+S22-S31=-76.2.求和：①②③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和解：①②（1）当时，（2）当③3.求和：5，55，555，5555，…，，…；解：七．其它求和方法（奇偶法求和）1.已知数列。解：，若