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1、数列求和的常用方法周潭中学—周根虎数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．解：（1）由已知得解得．设数列的公比为，由
2、，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为．（2）由于由（1）得，又是等差数列．故．8练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。例1：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a为常数)的前n项和。解：若a=0,则Sn=0若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan
3、∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=∴Sn=当a=0时，此式也成立。∴Sn=说明：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。8例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅰ）解：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．（Ⅱ）解：设
4、， ① ②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，8．三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例3：求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5例4（07
5、豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若,且点P的横坐标为.（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若（III）略（I）∵,且点P的横坐标为.∴P是的中点，且由（I）知，，（1）+（2）得：8四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）等。n例1：求数5，55，555，…，55…5的前n项和Snn解
6、：因为55…5=n所以Sn=5+55+555+…+55…5===解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+()例5求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝8＝例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x
7、)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=。下列求和：
8、也可用裂项求和法。练习：1、求数列的前n项的和五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。即若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列{bn}{cn}可求出前n项和Sn+Tn。例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满.（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。解析：（
