数列求和的常用方法

《数列求和的常用方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数列求和的常用方法摘要：数列求和是历年高考中必定考查的对象，由简到难，但是都无外乎常见的几种方法，都离不开解题的本质。从近三年的高考情况来看：利用定义法、倒序相加法和错位相减法求数列的前项和一直是考查的重点。本文归纳总结了数列求和的十种方法，并举例进行了分析。关键词：数列求和公式常用方法牢记等差数列和等比数列的求和公式，利用公式求和是一切求和方法的根本.在牢记公式的基础上，要学会灵活应用公式，会利用公式的变形进行求和.下面对数列求和的经典方法一一进行介绍.1.部分求和法何谓部分求和，一分为二看，就是将数

2、列分成两个或两个以上可直接求和的数列，然后求出数列的前n项和.例1：求和：3+5+7+…+［（2n+1）+］.解：原式=［3+5+7+…+（2n+1）］+［+++…+］=+=n+2n-+12.并项求和法将数列的某些项先合并，使合并后可化为直接求和的数列就是一种很有效的方法：遇通项还未求和的数列求和时，先将各项求和再求和.例2：求1,1+2,1+2+2,…，1+2+2+…+2的前n项和.解：s=1+（1+2）+（1+2+2）+…+（1+2+2+…+2）因为1+2+2+…+2==2-1所以s=（2-1）+（

3、2-1）+（2-1）+…+（2-1）=（2+2+2+…+2-n=-n=2-n-23.列项求和法如果数列通项满足a=（d>0）的形式，就可列项为（-），然后进行消项求和.例3：求和：+++…+.解：原式=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=（1-+-+-+…+-）=（--）=4.错位相减法若数列{a}是等差数列，数列{b}是等比数列，c=ab，则求数列{c}前n项和s用该方法.例4：求和：s=+++…+.解：因为s=+++…+（1）s=（++…+）+（错位）（2）由（1）-（2）得（相减）：s=（+++

4、…+）-=-所以s=1-.5.降次求和法根据一些恒等式，将高次项求和问题转化为低次项求和问题的方法.例5：求和：（1+1）-1+（2+1）-2+…+（n+1）-n.解：因为（n+1）-n=3n+3n+1所以s=（3×1+3×1+1）+（3×2+3×2+1）+…+（3n+3n+1）=3（1+2+…+n）+（3×1+1+3×2+1+…+3n+1）=3+==n+2n+3n6.猜想证明法由递推关系给出的数列的通项来求和，该方法关键在于根据已知条件写出a的通项公式再求和.例6：已知数列中{a}中，a=1,a=a+

5、，求s.解：因为a=a+;2a+1;2a-2a=1，所以{2a}成以1为公差的等差数列，所以2a=2a+（n-1）×1=n.所以a=n（）,s=1×（）+2×（）+3×（）+…+n（）（1）s=1×（）+2×（）+…+（n-1）（）+n（）（2）由（1）-（2）得：s=1++…+（）-n（）=-n（）=-（）（+n）+7.倒序求和法例如：如果一个数列，与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则可把“正着写的和式”与“倒着写的和式”相加，得到一个常数列的和，这种求和方法就可看作是灵活利用公式求和的典型，称

6、为倒序相加求和法．例7：若f（x）=，求和：f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6）.解：令s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6），则s=f（6）+f（5）+…+f（1）+f（-4）+f（-5）,所以2s=［f（-5）+f（6）］+［f（-4）+f（5）］+…+［f（0）+f（1）］+…+［f（6）+f（-5）］又f（x）+f（1-x）=+===所以2s=×12=6，得s=3.8.周期法数列是一种特殊的函数，所以数列中也必然存在着周期问题．有些数列题，表面上看与周期

7、无关，但实际上隐含着周期性，一旦揭示了其周期性，问题便迎刃而解．例8：数列{a}中，a=1，a=2，若对一切n∈n，有aaa=a+a+a，且aa≠1，则该数列2008项的和s的值是多少？解:由a=1，a=2，得a=3，所以s=6.因为aaa=a+a+a，所以aaa=a+a+a.两式相减得aa（a-a）=a-a，又aa≠1,所以a=a，周期t=3.所以s=s+a=669s+a=4015.9.导数法抓住数列通项的结构特征，启迪直觉，类比“记忆模式”，精心联想，构造恒等式，借助导数，得到新的恒等式，出奇制胜.

8、例9：已知n∈n，求和：c+2c+3c+…+nc.解：由（1+x）=c+2c+3c+…+nc两边求导得：n（1+x）=c+2c+3cx+…+ncx令x=1，得c+2c+3c+…+nc=n210.数学归纳法有些题目可通过求出{a}的前几项之和，猜想出s，然后用数学归纳法给予严格证明.例10：设数列{b}的前n项之和为s，满足3（s+nb）=1+2b（n∈n），求s.解：因为s=b，由3（s+nb）=1+2b得3（s+s）=1+2s，所以s=.