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时间:2018-08-07
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1、数列求和的常用方法摘要:数列求和是历年高考中必定考查的对象,由简到难,但是都无外乎常见的几种方法,都离不开解题的本质。从近三年的高考情况来看:利用定义法、倒序相加法和错位相减法求数列的前项和一直是考查的重点。本文归纳总结了数列求和的十种方法,并举例进行了分析。关键词:数列求和公式常用方法牢记等差数列和等比数列的求和公式,利用公式求和是一切求和方法的根本.在牢记公式的基础上,要学会灵活应用公式,会利用公式的变形进行求和.下面对数列求和的经典方法一一进行介绍.1.部分求和法何谓部分求和,一分为二看,就是将数
2、列分成两个或两个以上可直接求和的数列,然后求出数列的前n项和.例1:求和:3+5+7+…+[(2n+1)+].解:原式=[3+5+7+…+(2n+1)]+[+++…+]=+=n+2n-+12.并项求和法将数列的某些项先合并,使合并后可化为直接求和的数列就是一种很有效的方法:遇通项还未求和的数列求和时,先将各项求和再求和.例2:求1,1+2,1+2+2,…,1+2+2+…+2的前n项和.解:s=1+(1+2)+(1+2+2)+…+(1+2+2+…+2)因为1+2+2+…+2==2-1所以s=(2-1)+(
3、2-1)+(2-1)+…+(2-1)=(2+2+2+…+2-n=-n=2-n-23.列项求和法如果数列通项满足a=(d>0)的形式,就可列项为(-),然后进行消项求和.例3:求和:+++…+.解:原式=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=(1-+-+-+…+-)=(--)=4.错位相减法若数列{a}是等差数列,数列{b}是等比数列,c=ab,则求数列{c}前n项和s用该方法.例4:求和:s=+++…+.解:因为s=+++…+(1)s=(++…+)+(错位)(2)由(1)-(2)得(相减):s=(+++
4、…+)-=-所以s=1-.5.降次求和法根据一些恒等式,将高次项求和问题转化为低次项求和问题的方法.例5:求和:(1+1)-1+(2+1)-2+…+(n+1)-n.解:因为(n+1)-n=3n+3n+1所以s=(3×1+3×1+1)+(3×2+3×2+1)+…+(3n+3n+1)=3(1+2+…+n)+(3×1+1+3×2+1+…+3n+1)=3+==n+2n+3n6.猜想证明法由递推关系给出的数列的通项来求和,该方法关键在于根据已知条件写出a的通项公式再求和.例6:已知数列中{a}中,a=1,a=a+
5、,求s.解:因为a=a+;2a+1;2a-2a=1,所以{2a}成以1为公差的等差数列,所以2a=2a+(n-1)×1=n.所以a=n(),s=1×()+2×()+3×()+…+n()(1)s=1×()+2×()+…+(n-1)()+n()(2)由(1)-(2)得:s=1++…+()-n()=-n()=-()(+n)+7.倒序求和法例如:如果一个数列,与首末等距离的两项之和等于首末两项之和,则可把“正着写的和式”与“倒着写的和式”相加,得到一个常数列的和,这种求和方法就可看作是灵活利用公式求和的典型,称
6、为倒序相加求和法.例7:若f(x)=,求和:f(-5)+f(-4)+…+f(0)+f(5)+f(6).解:令s=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+f(5)+f(6),则s=f(6)+f(5)+…+f(1)+f(-4)+f(-5),所以2s=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+…+[f(0)+f(1)]+…+[f(6)+f(-5)]又f(x)+f(1-x)=+===所以2s=×12=6,得s=3.8.周期法数列是一种特殊的函数,所以数列中也必然存在着周期问题.有些数列题,表面上看与周期
7、无关,但实际上隐含着周期性,一旦揭示了其周期性,问题便迎刃而解.例8:数列{a}中,a=1,a=2,若对一切n∈n,有aaa=a+a+a,且aa≠1,则该数列2008项的和s的值是多少?解:由a=1,a=2,得a=3,所以s=6.因为aaa=a+a+a,所以aaa=a+a+a.两式相减得aa(a-a)=a-a,又aa≠1,所以a=a,周期t=3.所以s=s+a=669s+a=4015.9.导数法抓住数列通项的结构特征,启迪直觉,类比“记忆模式”,精心联想,构造恒等式,借助导数,得到新的恒等式,出奇制胜.
8、例9:已知n∈n,求和:c+2c+3c+…+nc.解:由(1+x)=c+2c+3c+…+nc两边求导得:n(1+x)=c+2c+3cx+…+ncx令x=1,得c+2c+3c+…+nc=n210.数学归纳法有些题目可通过求出{a}的前几项之和,猜想出s,然后用数学归纳法给予严格证明.例10:设数列{b}的前n项之和为s,满足3(s+nb)=1+2b(n∈n),求s.解:因为s=b,由3(s+nb)=1+2b得3(s+s)=1+2s,所以s=.
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