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1、数列求和的若干常用方法杨柏山指导教师:李劲(河西学院数学与应用数学专业2006届6班30号,甘肃张掖734000)摘要数列求和是高中数学知识的难点之一,也是高考数学内容的重点考察对象之一.传统的数列求和往往是用公式来求,但是对一些非等差、等比数列却是行不通的.本文将针对这种现象,打破常规,运用一定的技巧和变形,如分组求和、裂项求和、逆序相加、待定系数等方法来解决这类问题.关键词数列;分组;裂项;错位相减;逆序相加;待定系数.中图分类号O122.41引言数列求和是数列教学的重要内容之一,也是高考数学的重点考察对象.除了等差数列和等比数列有求和公式
2、外,大部分数列的求和都需要一定的技巧,如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、递推法等.现总结如下.2常用公式法直接利用公式求和是数列求和最基本的方法,常用的数列求和公式有：等差数列求和公式：等比数列求和公式：3分组求和法所谓分组求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,能分为几个等差、等比或常见的数列,则对拆开后的数列分别求和,再将其合并即可求出原数列的和.例1求数列1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n,…的前项和.分析：从研究通项的结构入
3、手,因为,所以可将数列拆开,分组进行求和.解：因为所以7归纳：一般地,若、分别为等差、等比数列,在求前n项和时,可以从通项入手,将通项拆开,然后进行等差、等比的分组,利用等差、等比数列的求和公式求和.4裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,裂项求和的实质都是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）等例2在数列中,又求数列的前项和.解析:∴∴数列的前项和归纳:一般地,若数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,则求和:首先考虑,则.例3求数列的前项和.解
4、析:∵(分母有理化)7∴归纳:对于分母是二次根式的和,且被开方数是等差数列,利用乘法公式,使分母上的和变成了分子上的差,从而又因中间项相消而可求.5错位相减法设数列是等比数列,数列是等差数列,则对数列的前n项和求解,均可用错位相减法.例4（2003年高考模拟试题）已知,,数列是首项为,公比也为的等比数列,令求数列的前n项和.解析:∵∴①②①-②得例5(2003年北京高考文科)已知数列是等差数列,且令求数列的前n项和.解析:∵,∴故∴由得①②将①式减去②式得7归纳:当数列的每一项都为两数之积,各项中前一个数组成等差数列,后一个数组成等比数列,具有
5、这样特点的数列就可以采用错位相减法求和,求和的关键是在等式的两边同乘以公比.即:如果和分别为等差、等比数列,要求的前n项和时,可采用错位相减法.说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.6倒序相加法如果一个数列与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写的和与倒着写的和两个式子相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法.例6求和解析:据组合数性质将倒序写为:①又②①+②得∴例7求和.解析:令①将①式中的次序反过来.则②将①、②式分别相加得∴7递推法7例8已知数列的前n项和与满足：,,成等比数列
6、,且求数列的前n项和.解析:由题意∵∴∴即有,,…,∴∴说明:本题的常规方法是先求通项公式,然后求和,但逆向思维直接求出数列的前n项和的递推公式,是一种最佳解法.8数学归纳法第一数学归纳法:(1)已知命题p(1)成立;(2)若命题p(k)成立,则p(k+1)成立;由命题(1)、(2)可知命题p(n)都成立.第二数学归纳法:(1)已知命题p(1)成立;(2)若当时命题p(k)成立,则p(k+1)成立;由命题(1)、(2)可知命题p(n)都成立.应用的注意点:(1)两步缺一不可;(2)第二步证明必须要利用归纳假设;例9用数学归纳法证明证明:i)当n
7、=2时,左式=,右式=7∵∴即n=2时,原不等式成立.ii)假设时,不等式成立,即则n=k+1时,左边==右边=,要证左边右边.只要证即证即显然所以原不等式成立,即n=k+1时成立,左式右式由i）、ii）可知,原不等式对均成立.9待定系数法类似等差数列,如果是关于n的k次式,那么他的前n项和是关于n的k+1次式,且不含常数项,因此,只要求出这个k+1次式的各项系数即可.例10求和.解析:由于通项是n的二次式,则是n的三次式,且不含常数项.设,令n=1、2、3得解得所以致谢衷心感谢李劲老师的悉心指导!7参考文献[1]朱海棠.等差数列的一类递推公式
8、[J].武汉华中师范大学出版社,2003.1[2]张智忱.有几种典型的递推公式构造新数列求通项的方法[J].武汉华中师范大学出版社,2002.7. [
