2018-2019学年上海市静安区高二(下)期末数学试卷.doc

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2018-2019学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）在复数集上，方程x2＝﹣4的解为　　2．（3分）如图，在正方体中，AB与CD所成角的大小为　　3．（3分）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为　　4．（3分）用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为　　立方分米5．（3分）的二项展开式中x2项的系数为　　．6．（3分）请列举用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数　　7．（3分）在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有　　种（填写数值）8．（3分）有9本不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书4本，外语书3本，物理书2本，如果同一学科的书要排在一起，那么有　　种不同的排法（填写数值）二、选择题9．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是（2，﹣1），则这个方程可以是（　　）A．x2﹣4x+5＝0B．x2+4x+5＝0C．x2﹣4x+3＝0D．x2+4x﹣3＝010．（3分）半径为2的球的表面积为（　　）A．4πB．8πC．12πD．16π11．（3分）①平行于同一直线的两条不同的直线平行②平行于同一平面的两条不同的直线平行③若直线l与平面α没有公共点，则l∥α④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行⑤若l∥α，则过l的任意平面与α的交线都平行于l 以上5个命题中真命题的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5三、解答题12．已知虚数z满足|z|＝1．（1）求|z+2|的取值范围；（2）求证：是纯虚数．13．在平面直角坐标系xOy中，点P到直线l：x＝﹣3的距离比到点F（3，0）的距离大2．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）请指出曲线C的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由．14．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，侧棱长和底边长均为a，点O为底面中心．（1）求正三棱锥P﹣ABC的体积V；（2）求证：BC⊥PA．15．若二面角α﹣AB﹣β的平面角是直角，我们称平面α垂直于平面β，记做α⊥β．（1）如图，已知α⊥β，α∩β＝AB，l⊊α且l⊥AB，求证：l⊥β；（2）如图，在长方形ABCD中，，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面BCD⊥平面ABD，求此时直线AC与平面ABD所成的角的大小． 2018-2019学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）在复数集上，方程x2＝﹣4的解为　x＝2i，或x＝﹣2i　【分析】直接解方程即可．【解答】解：因为x2＝﹣4，所以x＝2i，或x＝﹣2i．故答案为：x＝2i，或x＝﹣2i．【点评】本题考查了在复数集上求方程的根，属基础题．2．（3分）如图，在正方体中，AB与CD所成角的大小为　　【分析】了异面直线所成角的作法得：∠ABE为所求，易得∠ABE＝，得解．【解答】解：因为BE∥DC，即∠ABE为所求，易得∠ABE＝，故答案为：．【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，属简单题．3．（3分）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为　8π　【分析】该圆柱的高h＝2，底面圆半径r＝2，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：∵圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，∴该圆柱的高h＝2，底面圆半径r＝2，∴该圆柱的体积为：V＝πr2h＝π×22×2＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．（3分）用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为　　立方分米【分析】由已知求出圆锥形容器的底面半径，进一步求出高，代入圆锥体积公式求解．【解答】解：半径为2分米的半圆形的弧长为2π，设制作的圆锥形容器的底面半径为r，则2πr＝2π，r＝1．则圆锥形容器的高为．∴容器的容积为V＝．故答案为：．【点评】本题考查弧长公式的应用，考查圆锥体积的求法，是基础题．5．（3分）的二项展开式中x2项的系数为　60　．【分析】根据题意，可得的通项为Tr+1＝C6r•（x）6﹣r•（﹣）r＝（﹣1）rC6r•2r•（x）6﹣2r，令6﹣2r＝2，可得r＝2，将r＝2代入通项可得T3＝60x2，即可得答案．【解答】解：根据二项式定理，的通项为Tr+1＝C6r•（x）6﹣r•（﹣）r＝（﹣1）rC6r•2r•（x）6﹣2r，当6﹣2r＝2时，即r＝2时，可得T3＝60x2，即x2项的系数为60，故答案为60．【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别． 6．（3分）请列举用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数　310，320，302，312．　【分析】由排列组合知识得：用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数为：310，320，302，312，得解．【解答】解：由已知有用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数为：310，320，302，312，故答案为：310，320，302，312．【点评】本题考查了排列组合知识，属简单题．7．（3分）在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有　80　种（填写数值）【分析】由排列组合知识得：至少有一名男生的选法有＝80种，得解．【解答】解：由题意可知：在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有＝80种，故答案为：80．【点评】本题考查了排列组合知识，属简单题．8．（3分）有9本不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书4本，外语书3本，物理书2本，如果同一学科的书要排在一起，那么有　1728　种不同的排法（填写数值）【分析】由排列组合中相邻问题捆绑法得：有A＝1728种不同的排法，得解．【解答】解：由题意结合利用排列组合中相邻问题捆绑法得：如果同一学科的书要排在一起，那么有A＝1728种不同的排法，故答案为：1728．【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题，属中档题．二、选择题9．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是（2，﹣1），则这个方程可以是（　　）A．x2﹣4x+5＝0B．x2+4x+5＝0C．x2﹣4x+3＝0D．x2+4x﹣3＝0【分析】由条件可知方程的根为x＝2﹣i或x＝2+i，然后根据根于系数的关系可得方程． 【解答】解：由关于x的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是（2，﹣1），由实系数多项式虚根成对定理可知方程的根为x＝2﹣i或x＝2+i，则（2﹣i）+（2+i）＝4，（2﹣i）（2+i）＝5，∴这个方程可以是x2﹣4x+5＝0，故选：A．【点评】本题考查了实系数多项式虚根成对定理，属基础题．10．（3分）半径为2的球的表面积为（　　）A．4πB．8πC．12πD．16π【分析】直接利用球的表面积公式求解．【解答】解：∵球的半径R＝2，∴球的表面积为4π×R2＝4π×4＝16π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积公式及其应用，是基础题．11．（3分）①平行于同一直线的两条不同的直线平行②平行于同一平面的两条不同的直线平行③若直线l与平面α没有公共点，则l∥α④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行⑤若l∥α，则过l的任意平面与α的交线都平行于l以上5个命题中真命题的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5【分析】根据线线与线面的位置关系，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【解答】解：①平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确．②平行于同一平面的两条不同的直线可能平行，相交或异面，②错误．③若直线l与平面α没有公共点，则l∥α，③正确．④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，由面面平行的性质定理④正确．⑤若l∥α，则过l的任意平面与α的交线都平行于l，由线面平行的性质定理⑤正确，以上5个命题中真命题的个数是4个．故选：C．【点评】 本题主要考查命题的真假应用，结合线线与线面的位置关系是解决本题的关键．三、解答题12．已知虚数z满足|z|＝1．（1）求|z+2|的取值范围；（2）求证：是纯虚数．【分析】（1）z＝cosθ+isinθ，且sinθ≠0，根据复数的模和三角函数的性质即可求出，（2）利用复数的运算即可证明．【解答】解：（1）虚数z满足|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，且sinθ≠0，∴|z+2|＝＝，∵﹣1＜cosθ＜1，∴1＜5+4cosθ＜9，∴1＜|z+2|＜3，证明：（2）z﹣＝cosθ+isinθ﹣＝cosθ+isinθ﹣＝cosθ+isinθ﹣（cosθ﹣isinθ）＝2isinθ，∵sinθ≠0，∴是纯虚数．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的意义、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在平面直角坐标系xOy中，点P到直线l：x＝﹣3的距离比到点F（3，0）的距离大2．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）请指出曲线C的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由．【分析】（1）根据曲线方程的求法，由动点P到直线x＝﹣1的距离与到F（3，0）的距离相等列方程化简即可；（2）找出此方程与抛物线y2＝8x方程的联系，进而得出结果．【解答】解：（1）由题意可知，动点P到直线x＝﹣1的距离与到F（3，0）的距离相等．设P（x，y），则|x﹣（﹣1）|＝， 化简得y2﹣8x+8＝0，所以点P的轨迹C的方程为y2﹣8x+8＝0．（2）由（1）得C的方程可化为y2＝8（x﹣1），即由抛物线y2＝8x图象右移1个单位可以得到．所以曲线C也关于x轴对称，顶点为（1，0），范围为x≥1，y∈R．【点评】此题考查了曲线方程的求法，抛物线的图象与性质等知识，中档题．14．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，侧棱长和底边长均为a，点O为底面中心．（1）求正三棱锥P﹣ABC的体积V；（2）求证：BC⊥PA．【分析】（1）由已知求得三棱锥底面积与高，代入三棱锥体积公式求解；（2）证明BC⊥平面PAO，从而可得BC⊥PA．【解答】（1）解：连接AO并延长，交BC于D，在等边三角形ABC中，由边长为a，得AD＝，∴AO＝，则PO＝．，∴；（2）证明：连接AO并延长，交BC于D，则AD⊥BC，由PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，而PO∩AD＝O，∴BC⊥平面PAO，则BC⊥PA．【点评】 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．15．若二面角α﹣AB﹣β的平面角是直角，我们称平面α垂直于平面β，记做α⊥β．（1）如图，已知α⊥β，α∩β＝AB，l⊊α且l⊥AB，求证：l⊥β；（2）如图，在长方形ABCD中，，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面BCD⊥平面ABD，求此时直线AC与平面ABD所成的角的大小．【分析】（1）在β内过点D作CD⊥AB，则l⊥AB，l⊥CD，由此能证明l⊥β．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作平面ABD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面ABD所成的角的大小．【解答】证明：（1）在β内过点D作CD⊥AB，∵α⊥β，α∩β＝AB，l⊊α且l⊥AB，∴l⊥CD，∵AB∩CD＝C，∴l⊥β．解：（2）∵在长方形ABCD中，，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面BCD⊥平面ABD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作平面ABD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（0，6，2），＝（0，6，2），平面ABD的法向量＝（0，0，1），设直线AC与平面ABD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴直线AC与平面ABD所成的角的大小为30°． 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/9/79:02:39；用户：高中数学；邮箱：；学号：