2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案含解析北师大版.doc

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1、第7讲　解三角形的应用举例基础知识整合1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标

2、方向；(3)南偏西等其他方向角类似．4.坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-10-1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南

3、偏东10°D．南偏西10°答案　B解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.2．(2019·厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m答案　D解析　在直角三角形中，根据三角函数的定义得－＝10，解得AB＝5(＋1)(m)．故选D.3．(2019·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　　)A．10nmil

4、eB．nmileC．5nmileD．5nmile答案　D解析　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝5nmile.4．(2020·安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为(　　)A．akmB．akmC.akmD．2akm-10-答案　C解析　如图所示，依题意知CA＝CB＝akm，∠ACB＝50°＋70°＝120°

5、，∠A＝∠B＝30°，由正弦定理，得＝，则AB＝＝a(km)，即门店A，B间的距离为akm.故选C.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案　50解析　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝hm，AB＝100m，BC＝hm，根据余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即

6、(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50(m)，故水柱的高度是50m.核心考向突破考向一　测量距离问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(2019·江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　)A．20海里B．40海里C．20(1＋)海里D．40海里答案　A解析　由题意可知，∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(

7、海里)．在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，由正弦定理可得AC＝＝20(＋1)(海里)．在△ABC中，由余弦定理，得AB＝＝20(海里)．故选A.-10-距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．[即时训练]　1.(2019·福建宁德第二次(5月)质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保

8、留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊