2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节解三角形的实际应用举例教学案文含解析北师大版

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1、第七节　解三角形的实际应用举例[考纲传真]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ＜360°方向角相对于某正方向的水平角，如北偏东α，即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向，南偏西α，即由正南方向顺时针旋转α到达目标方向，其他方向角类似例：(1)北偏东α：(2)南

2、偏西α：[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°．(　　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为．(　　)(3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是．(　　)(4)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC

3、等于(　　)A．10nmile　B．nmileC．5nmileD．5nmileD　[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴＝，∴BC＝5.]3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B　[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测

4、点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是(　　)A．100mB．400mC．200mD．500mD　[设塔高为xm，则由已知可得BC＝xm，BD＝xm，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的

5、距离为(　　)A．50mB．25mC．25mD．50mD　[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50m．]测量距离问题1．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)60　[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．在Rt△ADC中，由AD

6、＝46m，∠ACB＝30°得AC＝92m.在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理＝，得＝，即＝，解得BC＝≈60(m)．]2．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.10　[如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．]3．如图，一艘船上午9：30在A

7、处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.32　[在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，则AB＝＝16，故此船的船速是＝32nmile/h.]4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.

8、在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD