2019年高考数学复习三角函数解三角形第8节解三角形实际应用举例学案理北师大版

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1、第八节　解三角形实际应用举例[考纲传真]　(教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(对应学生用书第64页)[基础知识填充]1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图381(1))．(1)　　　　　　　　　　(2)图3812．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图381(2))．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度坡面与水平面所

2、成二面角的正切值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望

3、C和A成75°视角，则BC等于(　　)A．10nmile　　B．nmileC．5nmileD．5nmileD　[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴＝，∴BC＝5.]3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)A．北偏东15°　　　B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B　[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]4．如图382，已知A，B两点

4、分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)图382A．50mB．25mC．25mD．50mD　[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50m．]5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.70　[设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50

5、×30×cos120°＝4900，所以d＝70，即两船相距70nmile.](对应学生用书第64页)测量距离问题　如图383，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)【导学号：79140136】图38360　[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°得

6、AC＝92m.在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理＝，得＝，即＝，解得BC＝≈60(m)．][规律方法]　求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题，应作答).[跟踪训练]　如图384所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.若测得CA

7、＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．图384[解]　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000，∴AB＝200(m)，即A，B两点间的距离为200m.测量高度问题　如图385，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图385100　[由题意，在△ABC中，∠

8、BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300m.在Rt△BCD中，C