2020版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形应用举例讲义 理（含解析）

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1、第7讲　解三角形应用举例[考纲解读]　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2020年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在

2、水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)(2)从A处望B处的仰

3、角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)A．10kmB．10kmC．10kmD．10km答案　D解析　由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·C

4、B·cos120°＝102＋202－2×10×20×＝700.∴AC＝10(km)．(2)如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10m，则树的高度h为(　　)A．(5＋5)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋3)m答案　A解析　在△PAB中，由正弦定理得＝，所以PB＝＝，所以h＝PBsin45°＝＝＝(5＋5)m.(3)如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时无人机的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________

5、m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)答案　60解析　由图可知，AB＝，在△ABC中，由正弦定理可知＝，所以BC＝＝≈＝60(m)．(4)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的大小为________．答案　15°解析　在△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝CD＝10，∠ADC＝180°－4θ，由正弦定理得＝，所以＝，cos2θ

6、＝，所以2θ＝30°，θ＝15°.题型　测量距离问题1．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)A．15kmB．30kmC．45kmD．60km答案　B解析　作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30.2．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C

7、，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.答案　解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝(km)．在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2

8、＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝＋－2×××＝.∴AB＝(km)．∴A，B两点间