2019届高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案

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1、2019版高考数学一轮复习全册学案第7讲　解三角形的应用举例板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．考点2　方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．考点3　方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．192019版高考数学一轮复习全册学案(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由指北方向逆时

2、针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．考点4　坡角与坡度1．坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．[必会结论]1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β

3、的关系为α＋β＝180°.(　　)(3)若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(　　)(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设α为坡角，那么cosα＝.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．[课本改编]两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案　B解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.192019版高考数学一轮复习全册学案3.[2018·沈阳模拟]如图，设A，B两点在河的两岸，测量者在A

4、的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25mD.m答案　A解析　由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　　)A.B.C.aD.192019版高考数学一轮复习全册学案答案　B解析　因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，所以∠CAD＝30°，故CA＝CD＝a.所以AB＝asin60°＝.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷

5、水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案　50解析　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.板块二　典例探究·考向突破考向　测量距离问题例　1　如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠B

6、CD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.触类旁通求距离问题的注意事项192019版高考数学一轮复习全册学案(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．【变式训练1】　[2

7、014·四川高考]如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos37°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)答案　60解析　根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)．考向