三重积分详解课件.ppt

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1、三重积分第二节一、三重积分的概念三重积分的性质与二重积分的类似。特别地，x0zyz2(x,y)I=PNM..Dz1(x,y)二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法x0zyz2(x,y)I=D这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z1(x,y).二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法三重积分化为三次积分的过程：得到注意得到解于是，于是，得到得到解于是，得到解解666x+y+z=63x+y=62.例x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例

2、x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0zy666：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域42.x0zy666：平面y=0,z=0，3

3、x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域例..D0yx624D.y14x+y=4x=0xzo.例y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分4x+y=4y=0xyz.D..o11x+y=1yozx1z=xy.例例.z=01x+y=1ozx1yz=xy.例11z=0ozxx+y=1y。。z=xy.例x0zyc1c2zDz先做二重积分，后做定积分2.截面法（先二后一法）x0zyc1c2.先做二重积分，后做定积分zDz2.截面法（先二后一法）x0zyc1c2I=.先做二重积分，后做定积分zDz2.截面法（先二后一法）x0zyc1c

4、2.先做二重积分，后做定积分I=2.截面法（先二后一法）(1)把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投影区间[c1,c2](2)对用过轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;截面法的一般步骤：x0yzbc例计算aD0Dz..bc..x0yzD0a.z0xzyM(r,,z)zrNxyz(x,y,z)(r,,z)三、柱面坐标下三重积分的计算..1、柱面坐标简单地说，柱面坐标就是xoy面上的极坐标+z坐标柱面坐标与直角坐标的关系为z动点M(r,,z)柱面Sr=常数：平面z=常数：x0yzMrSz2.柱面坐标的坐标面动点M(r,,z

5、)半平面P柱面S=常数:r=常数：平面z=常数：zx0yzMrSP.2.柱面坐标的坐标面半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面；平面z及z+dz；xzy0drrrddz平面z元素区域由六个坐标面围成：3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz平面z+dz.3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d

6、;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dzdV=..dV3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式再根据V中z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对z积分，再对r，最后对积分。例利用柱面坐标计算三重积分其中V解(1)画V图(2)确定z，r，的上下限将V向xoy面投影，得或过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得于是，解求交线：将向xoy面投影，得或即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得或例计算三重积分其中是由曲解将向xoy面投影，得或过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得即或过(r,

7、)∈D做平行于z轴的直线，得即1.Dxy:z=0.0xzyDxy例.计算I=10xzyM(r,,)rNyxz..四、球面坐标系下三重积分的计算规定：1、球面坐标SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)2、球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.2、球面坐标的坐标面半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+drdrdrsinxzy0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：drsind3

8、、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+drdrdxzy0drd