南邮电磁场数学方法课后习题答案.docx

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1、第七章1.在的领域上求解常微分方程.解：.2.在的领域上求解雅可比方程.解：是方程的常点.设（1）则（2）（3）（4）（5）（6）把（2）（6）代入雅可脾方程可得系数递推公式：，即可以写出前面几个系数，但难以写出一般的系数公式。1.在的领域上求解。解：这里是方程的正则奇点。令，代入方程，把各幂次项集合如下表。由最低幂项系数为零，得，（1）取，这时系数递推公式是：（2）当时，推知从而得到方程的一个特解：（3）由于为整数，所以对于判定方程较小根对应的另一个特解的形式是：且代入原方程，集合如下表.令上表各幂次项系数为零，有，知A为任意，知，为任意推之有：（4）故。欧

2、勒型常微分方程在的邻域上求解解：把方程写成标准形式，系数，，则为的一阶极点，为的二阶极点。因此为方程的正则奇点.把代入常微分方程，然后相加，令各个幂次合并后的系数分别为零，得到一系列方程为考虑到第一个系数，则第一个方程为判定方程由此得到第一项的幂次为和先取，那么第二个方程成为，第三个方程成为，同理得到。因此，常微分方程的一个特解为再取，同理得。那么，常微分方程的另一个特解为因此常微分方程的通解为。9.在的邻域上求解阶贝塞尔方程(为常数)解：把该方程写成标准形式，则系数和在点分别为一阶奇点和二阶奇点，因此点为贝塞尔方程的正则奇点.把代入常微分方程，并合并各项，令

3、各个幂次合并后的系数分别为零，得到一系列方程为考虑到第一个系数，则第一个方程为判定方程由此得到第一项的幂次为和第二个方程。利用后面的各式进行系数的递推，得到递推公式为也即先取，递推公式成为，因此因此贝塞尔方程的一个特解为该级数的收敛半径为因此只要有限，级数就是收敛的。通常取式中为函数，若为整数，那么。此时把这个解称为阶贝塞尔函数，记为再取，递推公式成为因此因此，贝塞尔方程的另一个特解为该级数的收敛半径为因此只要有限，级数就是收敛的。通常取把这个解称为阶贝塞尔函数，记为因此，阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加.式中和为常数。若取、，并代入通解中可以得到一个

4、特解，该特解可以作为阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为阶诺依曼函数，也即因此阶贝塞尔方程的通解还可以写成10.在的邻域上求解阶贝塞尔方程解：由判定方程解出两个根为和。对应于较大的根，有一个特解为贝塞尔函数为由于判定方程两根之差为整数，第二个特解的形式为该特解代入贝塞尔方程中，可以证明令各个幂次的项分别等于零，可以得到若令，则因此方程的通解为由此可以推广到半奇数阶贝塞尔方程的求解。判定方程为和，两根之差为为整数。对应于的一个特解为阶的贝塞尔函数，也即第二个线性独立的特解可以用代入方程中，可以证明，因此第二个特解仍可以用因此阶贝塞尔方程的通解为11.在的邻域

5、上求解整数阶贝塞尔方程(为整数)解：贝塞尔方程对应的一个特解为而对应的另一个特解为如果是整数，只要，则是负整数，而负整数的函数为无限大，因此这个级数实际上只从开始，也即令，则因此，第二个特解实际上就是第一个特解.对于这种情况，第二个特解应该是如下形式：把该式代入贝塞尔方程中，并利用各个幂次项合并后的系数为零，根据系数的递推公式得到第二个特解若用上面定义的诺伊曼函数作为整数阶贝塞尔方程的第二个特解，又会怎么样结果呢？当(整数)时，整个表达式变成不定式0/0情况，必须用罗毕达法则求极限该极限就等于上述的，也即第二个特解为.因此方程的通解为12.在的邻域上求解阶虚宗

6、贝塞尔方程解：(1)整数或半奇数情况。做变量变换，则，那么该方程变成该方程又变成阶贝塞尔方程，其在点邻域上的二个线性独立解分别为及或通常虚宗量贝塞尔函数是表示为因此，该两个解除了外恒不为零。于是阶贝塞尔方程的解为(2)为整数。做变量变换，则判定方程的两个根为和，两根之差为整数，则第一个特解为称为虚宗量贝塞尔函数.由于，因此阶虚宗量贝塞尔函数就是阶虚宗量贝塞尔函数.因此，第二个线性独立的特解为虚宗量汉克尔函数第八章柱函数及其工程应用3.求.解：4.求.解：5.计算积分；解：由递推公式，得①由递推公式，得②.6.计算积分。解：由递推公式，得①②③又由递推公式，得④

7、将④代入③，得第九章球函数及其工程应用3.在区间上将用勒让德多项式展开.解：由于是偶函数，所以展开式中只含偶数阶的勒让德多项式，.，，，当时，.或：令因为，，，所以，比较上式两边系数，得。.4.验证：.证：因为，，所以.5.证明：.证法一：当时，当时，只有当，即时，上式才不为，此时..证法二：当时，当时，又当，时，，又.当时，，又..6.以勒让德多项式为基，在区间[-1,l]上把展开为广义傅里叶级数.解：本例不必应用一般公式(10.1.18)，事实上，是三次多项式，应该可以表为，，和的线性组合：比较等式两边同幂项，即得由此解得由此，10.用一层不导电的物质把半

8、径为的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球